Berechnen und zeichnen von Wurzelwerten (kompl. Zahlen)

Question

man soll alle Werte der folgenden WUrzeln zeichnen und berechnen.

dritte Wurzel von (1)

vierte Wurzel von (1)

fünfte Wurzel von (1)

vierte Wurzel von (4i)

und für einen der Werte von "vierter Wurzel von (4i)" auch (vierte Wurzel von 4i)² und (vierte Wurzel von 4i)³

^{Kann mir jemand die Herangehensweise beschreiben und eventuell ein, zwei Beispiele vorrechnen?}

Answer 1

dritte Wurzel von (1)

Dazu muss man nur wissen: Es gibt immer n Stück für n-te Wurzel,

und wenn der Betrag 1 ist, dann ist es ganz einfach: Nur den Winkel,

den die komplexe Zahl mit der pos. reellen Achse bildet, durch n teilen.

Hier also : 1 ist reell, hat also den Winkel 0° bzw. 360° bzw. 720°

jeweils durch 3 geteilt gibt 0° bzw. 120° bzw. 240°

also sind die drei Wurzeln

cos(0°) + i*sin(0°)  =    1

cos(120°) + i*sin(120°)  =    -1/2  + i*√3  / 2

cos(240°) + i*sin(240°)  =    -1/2   - i*√3  / 2

etc.

 

Comments

Das hat mir sehr geholfen.

Ich bin mir allerdings noch nicht sicher, wie man verfährt, wenn der Betrag unter der Wurzel nicht 1 ist. Könnte ich dazu noch einen Tipp bekommen? Z. B. (vierte Wurzel von 4i)³ oder auch erstmal nur vierte Wurzel von 4i

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4. Wurzel aus 4i:Betrag von 4i ist 4. Daraus die 4. Wurzel ist √2.

Also sind die 4 vierten Wurzeln aus 4i alle von der Form √2   *  4. Wurzel aus i .

Und für die  4. Wurzel aus i  gehst du vor wie bei der 1,

allerdings hat das i ja den Winkel von 90° bzw. 450° etc.

Also ist die erste von den 4. Wurzeln 
cos(22,5°) + sin(22,5°)  = 0,5*√(2+√2) + i *  0,5*√(2-√2)


also 4. Wurzel aus 4i = 0,5*√(4+2√2) + i *  0,5*√(4-2√2)etc.