Vierecksberechnung (Höhen der innenliegenden Dreiecke)

Question

Ich habe ein Viereck (nicht rechtwinklig) und kenne 6 Längen: Alle Seiten und die beiden Diagonalen. Ich brauche die Länge der Höhen der vier Dreiecke die sich aus den schneidenenden Diagonalen und den jeweiligen Vierecksseiten ergibt. Keine Näherungsformel, ich brauch es leider auf den µm genau.

Alle schwarzen Strecken sind bekannt, die farbigen sind gesucht.

Answer 1

Hallo Christiane,

mal angenommen, die Koordinaten der vier Eckpunkte des Vierecks sind bekannt (falls nicht siehe unten). Dann kann man die Höhen (fast) hinschreiben. Ich benenne dazu die Seitenvektoren mit \(a\) bis \(d\) und den Vektor von Punkt \(A\) nach Punkt \(C\) mit \(e\). Die Höhe vom Schnittpunkt der Diagonalen \(M\) auf den Vektor \(a\) sei \(h_a\) usw. Weiter sei der Vektor von \(A\) nach \(M\) \(=t \cdot e\)

 

Dann gilt:

$$h_a=\frac{1}{|a|}a \times (t \cdot e)$$

$$h_b=\frac{1}{|b|}b \times (t \cdot e - a)$$

$$h_c=\frac{1}{|c|}((1-t) \cdot e) \times c$$

$$h_d=\frac{1}{|d|}d \times (t \cdot e)$$

Beachte bitte, dass ich \(d\) von \(D\) nach \(A\) laufen lasse. Das \(\times\) ist das Kreuzprodukt im 2-dimensionalen - d.h. es ist

$$u \times v = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}= u_x \cdot v_y - u_y \cdot v_x$$Die Werte  in Betragsstrichen \(||\) sind jeweils die Seitenlängen. Den Wert für \(t\) erhält man aus dem Geradenschnittpunkt

$$a + s(d +a)= t \cdot e \quad \Rightarrow \left[ e; \space -(d+a)\right] \cdot \begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix} = a$$

Falls die Koordinaten nicht gegeben sind, so setze \(A\) in den Ursprung und \(a\) zu

$$a = \begin{pmatrix} |a| \\ 0 \end{pmatrix}$$

Die Koordinaten von \(C\) (den Vektor \(e\)) und \(D\) (den Vektor \(-d\)) kann man anschließend als Schnittpunkt zweier Kreise berechnen. Siehe hier. Falls noch Fragen dazu sind; dann melde Dich bitte wieder

Gruß Werner

Comments

wow, das sieht gut aus! allerdings auch mathematisch ein bisschen hoch für mich Chemiker...... darüber muss ich erst mal nachdenken.

mfg

Christiane

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Du schriebst: "... allerdings auch mathematisch ein bisschen hoch für mich"

Wenn Du ein wenig detaillierter beschreibst wo es hängt, können wir Dir sicher helfen. Es ist oben nichts dabei, was man nicht in der Oberstufe eines Gymnasiums lernt.

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Hallo Christiane,

Können wir Dir jetzt noch irgendwie helfen?

Ja - um die Abstände zu den Seitenmitten zu berechnen, sind die Koordinaten sinnvoll. Mache es so, wie ich es im letzten Absatz meiner Antwort beschrieben habe (siehe auch der Link). Das ist relativ einfach zu rechnen - falls es doch nicht klappt, einfach wieder melden.

Du hast es nicht explizit gesagt, aber ich vermute, dass Du die Abweichungen der Abstände vom Idealmass nur dazu benötigst, um beurteilen zu können, ob das Sieb noch benutzt werden kann oder nicht. Grundsätzlich gäbe es da auch andere Möglichkeiten, aber der Aufwand wird auch nicht kleiner

Ich habe Dir nochmal das Bild der Verzerrung aus Deinen Daten generiert - die Verschiebung ist um den Faktor 500 übertrieben - sonst würde man sie ja nicht sehen.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

ja, genau, es geht darum zu sagen ob das Sieb noch geht oder schon zu weit verzogen ist. Da die Grenze bei ca. 50 µm liegt, sieht man das mit dem Auge überhaupt nicht. Wie hast du es geschafft, Koordinaten zu berechnen, ohne dass du einen Punkt auf 0/0 gesetzt hast? In deiner Beschreibung steht ja auch "setze A in den Ursprung", auf deiner Zeichnung ist es nicht so, da sind die Abweichungen vom Ideal gemittelt aufgetragen, so sieht es jedenfalls aus.

Ich denke ich komme jetzt schon klar, ich hatte gehofft es wäre etwas einfacher, ich muss einfach Schritt für Schritt durch dieses Gebilde und die Strecken und Winkel einen nach dem anderen berechnen. Auch das umwandeln in Koordinaten bekomme ich dank eurer Hilfe jetzt hin.

Christiane

Answer 2

Du hast 4 Dreiecke jeweils aus :

2 Außenseiten und 1 Diagonale

Das Dreieck wird geteilt in 2 rechtwinklige
Dreiecke.
Über den Pythagoras ergeben sich 2 Gleichungen
mit 2 Unbekannten.
Eine Gleichung setzt du nach q um und dann
q in die andere Gleichung ein.
Übrig bleibt h(d), die Höhe auf d.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Dies wäre der Abstand eines Eckpunkts zur
Diagonalen ( Höhe ).
Sollte dies nicht zutreffen sondern
Schnittpunkt der Diagonalen / Abstand
zu den Außenseiten dann wieder melden.

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Hallo Georg, vielen Dank, das ist schon ein Teil der Lösung. Aber ich kenne ja a und b in deinen Gleichungen nicht, das ist ja nur ein Teil der Diagonalen, ich kenne ja nur die Länge der gesamten Diagonale.

Um das Problem so zu berechnen brauche ich noch die Teillängen der Diagonalen bis zum gemeinsamen Schnittpunkt. Da ich nicht rechtwinklig bin, weiß ich auch da nicht, wie ich das hinkriege.

mfg

Christiane

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Hallo Christiane,
meine 2 Gleichungen enthalten 2
Unbekannte sind daher lösbar.

Gern rechne ich dir für konkrete Werte dies einmal vor.

Ich denke aber die Antwort ist,  bezogen auf deine
Frage, falsch.

Dies wäre der senkrechte Abstand ( Höhe ) eines
Eckpunkts zu einer Diagonalen.

In der Frage wird aber der jeweilge Abstand des
Schnittpunkts der Diagonalen  zu den Außenseiten
gesucht.

Wie siehst du das ?

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Rot ist das was ich berechnet habe.

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Hast du die Koordinaten der Eckpunkte
oder die Seiten- / Diagonallängen ?

Gib einmal deine Werte an.

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ich muss die Abweichung zur Idealform messen

Was soll das Ergebnis sein?

Nur die Fläche im Vergleich zum Quadrat ?

Bisher haben wir : a,b,c,d, d1,d2

über den cos-Satz α, β, γ, δ

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ich habe mir den Schriftwechsel mit Werner
auch angeschaut.

Es ist mir immer noch nicht klar was du misst und
wozu die Berechnungen gebraucht werden.

Was soll das Ergebnis werden ?

ich habe selbst einmal Physiklaborant gelernt
und keine mich mit Messungen aus.

Was sind deine Rohdaten / Meßwerte ?
Sind es Längen ? Sind Koordinaten ?

Gib Sie einmal an.

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Ich fasse einmal auf das Mathematische zusammen

Dein Berechnungswunsch ist also

wie kann aus

oben=113.1692 mm
rechts=113.1178 mm
unten=113.1753 mm
links=113.1404 mm
links-oben nach rechts-unten=160.0184 mm
links-unten nach rechts-oben=160.0201 mm

der senkrechte Abstand einer Seite zum
Schnittpunkt der Diagonalen berechnnet werden.

Ja ?

mfg Georg

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ja! ist das mathematisch was anderes als die Höhen der Dreicke, nach denen ich gefragt hatte?

war die erklärung verständlich? anbei ein Bild vom Sieb, man sieht die Struktur und die vier Justagekreise. Außerdem sieht man die vier Kameras, die diese erkennen und messen.

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Ich brauche die Länge der Höhen der vier Dreiecke
die sich aus den schneidenenden Diagonalen und
den jeweiligen Vierecksseiten ergibt.

Du hast genau das Richtige gefragt.

" den senkrechten Abstand einer Seite zum
Schnittpunkt der Diagonalen  "

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wenn ich ganz genau darüber nachdenke, liege ich aber trotzdem falsch - ich brauche glaube ich die Längen des Abstandes der Seitenmitten zum Diagonalenschnittpunkt, ohne zwingenden rechten Winkel. Ich glaube das ist auch einfacher zu rechnen, weil ich ja die bekannte Seitenlänge dann einfach halbieren kann.

Dann brauche ich nur noch eine Berechnung für den Schnittpunkt, und da komme ich um ein Koordinatensystem nicht herum, befürchte ich.

mfg

Christiane

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Ich beabsichtige zunächst die
Koordinaten der Eckpunkte zu berechnen

Über den cosinussatz ergibt sich
a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos ( a )
113.1692 ^2
  = 113.1404 ^2 + 160.0201 ^2 - 2 * 113.1404 * 160.0201 * cos ( α )
α = 45.00906562 grad

Geht nacher weiter.
Habe ich die 4 Eckkordinaten kann ich
- den Schnittpunkt berechnen
- den senkrechten Abstand der Seiten zum Schnittpunkt
berechnen

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Nach deinem letzten Kommentar :

die 4 Eckkoordinaten bekommen wir berechnet.
Den Schnittpunkt auch.
Den Abstand von der Seitenmitte bis zum Schnittpunkt auch.

Ich gehe jetzt erst einmal essen.

Dann gehts weiter.

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Hier die Koordinaten für die linke Hälfte.

Soweit einverstanden ?

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Hallo Georg,

nein, das ist doch wieder die Höhe des Dreiecks aus zwei vierecksseiten und einer kompletten Diagonale. Ich brauche die Höhe des Dreiecks aus einer Vierecksseite und den beiden Diagonalenabschnitten bis zum Diagonalenschnittpunkt. Siehe Bild. Oder verstehe ich das falsch? Auf jeden Fall cfinde ich es große Klasse dass du dir das so genau anschaust!! 

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Auf jeden Fall cfinde ich es große Klasse
dass du dir das so genau anschaust!!

Bin Rentner und habe eh nichts zu tun.

Es geht mir nicht um Höhen.
Es geht mir um die Umwandlung der Seitenlängen
in x | y - Koordinaten.

Die Diagonale ist die x-Achse. Aus dieser und 2
Seitenlängen habe ich die Eckkoordinaten berechnet

3 Eckpunkte
( x | y )
(  0 | 0 )
( 160.0201 | 0 )
A ( 79.9892 | 80.015 )

Jetzt die andere Hälfte berechnen. Eckpunkt B.
Dann die Geradengleichung zwischen A und B
aufstellen.
Schnittpunkt S der Geraden  mit der x-Achse
berechnen.
Die Koordinaten des Seitenhalbierungspunkts
feststellen und als letztes den Abstand zum
Schnittpunkt S berechnen.

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Hier das komplette Bild

B ( 80.00828 | - 79.96 )

Verbindungsgerade A - B
m = ( yA - yB ) / ( xB - xB )
t = -8601.740188 * x + 688130.5004

Schnittpunkt mit der x-Achse
S ( 79.99098688 | 0 )

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Abstand linke Seite bis Mitte 56.57 mm ?

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Hallo Georg,

heute hab ich zwischen ein paar Terminen gut Zeit, dann rechne ich das mal nach und schaue ob ich klarkomme und ob ich auf dasselbe komme. Im idealen Quadrat lässt sich die Strecke so einfach errechnen! Das Ideal ist 56,569 mm, also bin ich nach deiner Rechnung nur 1 µm vom Ideal entfernt? Ich gehe nachher deinen Lösungsweg Schritt für Schritt durch. Ich sag Dir bescheid. Auf jeden Fall vielen Dank für die Hilfe, ich melde mich heute mittag wieder.

mfg

Christiane

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Leider hat mein Matheprogramm
einen Fehler

Das Ergebnis wird vom Programm auf 11
Stellen berechnet ( dazu noch falsch )
die Ausgangswerte sind 8-stellig.

Zum Rechnen zu Fuß ist das Ganze
wahrscheinlich zu aufwendig.
( vielleicht ist Werners Ansatz weniger
aufwendig )

Ansonsten : ich habe einmal EDV-Programme
entwickelt.
Wenn der Algorithmus einmal programmiert ist
heißt es nur noch : die 6 Meßwerte eingeben,
Knöpfchen drücken und eine
tausendstel Sekunde später wird das
Ergebnis angezeigt.

Bin gern weiter behilflich.

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Ich habe das Ganze mit Borland Pascal nochmals
berechnet.

Abstand ( Mitte linke Seite ) bis Schnittpunkt  :
56.5768 mm.

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Nach oben hätte ich 56.5846 - 56.569 mm
+16 μm

Nach links ist : 56.5768 - 56.569 = 0.0078 mm
+ 8 μm

Nach unten : 56.5511 - 56.569 = - 0.0179
-18 μm

Nach links ist : 56.5589 - 56.569 = 0.0101 mm
- 10  μm

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Vorabfrage : Quadratseite 113.138 mm ?

Korrektur

Nach oben hätte ich 56.5846 - 56.569 mm
+16 μm

Nach links ist : 56.5918 - 56.569 = 0.0228 mm
+  22.8 μm

Nach unten : 56.5661 - 56.569 = - 0.0179
- 17.9  μm

Nach rechts ist : 56.5589 - 56.569 = 0.0101 mm
- 10.1  μm

Den Meßwert  für die andere Diagonale haben
wir bisher noch nicht verwendet.
Der Abstand zwischen Eckpunkt A und
Eckpunkt B beträgt berechnet 160.0183 mm
und stimmt mit dem Meßwert von 160.0184 mm
hervorragend überein.

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Hallo georgborn! :-)

Auf jeden Fall cfinde ich es große Klasse
dass du dir das so genau anschaust!!

Bin Rentner und habe eh nichts zu tun.

Deshalb ist es doch nicht weniger Klasse!
Betrachten wir es als Axiom: Klasse ist und bleibt Klasse.
Und damit q. e. d.

Beste Grüße
gorgar

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so, jetzt habe ich es mit Cosinussatz und Dreiecksberechnungen ohne Koordinaten ausgerechnet, denn wenn ich die Winkel und eine Seite habe, kann ich die Längen der Diagonalenabschnitte ja berechnen. Dann kenne ich das kleine Teildreieck aus Seitenlänge und Diagonalbschnitten bis zum Schnittpunkt vollständig mit allen Seitenlängen und Winkeln. Ich habe dann Höhe und Seitenhalbierende berechnet, dann kann ich schauen was besser zu meinen Daten passt.

Also quasi

1. Dreieck A-B-D = alle Seiten bekannt, Winkel bei A berechnen. (So fängt dein Lösungsweg ja auch an.)

2. Dreieck A-B-C = alle Seiten bekannt, Winkel bei B berechnen.

3. Für Dreieck A-B-M den dritten Winkel berechnen: 180- (Winkel bei A+Winkel bei B)

4. Über WSW-Satz die Längen der Diagonalabschnitte im Dreieck A-B-M berechnen

5. alle Längen und Winkel in A-B-M bekannt, Höhe und Seitenhalbierende zu A-B mit Standardformel ausrechnen.

Ich kriege für Höhe oben-Mitte: 56,5737 raus, also +4,7 µm.

Als Seitenhalbierende oben-mitte 56,563, also -6 µm.

Interessant, welchen Unterschied das macht. Keines der beiden stimmt mit deiner Berechnung überein, kannst du dir das erklären? Ist in meinem weg ein Fehler? Ich wollte mich einfach nicht damit zufreidengeben, dass die wirklich aufwändige Umwandlung in Koordinaten notwendig ist, wenn ich am Schluss wieder nur eine Länge brauche. Habe ich aber auch lange drüber nachgedacht bis ich auf den Weg gekommen bin.

Die anderen Seiten habe ich noch nicht, ich brauche immer so lange bis ich alle Strecken und Winkel richtig zugeordnet habe (räumliches Vorstellungsvermögen - ich muss die Dreiecke ja im Kopf drehen und wieder auf dieselben Formeln packen). Ich schicke das später nochmal.

Grüße

Christiane

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hallo Christiane,

ich habe ein Borland Pascal Programm
geschrieben.
Hier die Ergebnisse ( Ausdruck )

Deine Rechnung schaue ich mir einmal an

---

Stelle eine Skizze deines Vierecks oder
Dreiecks ein. Am Besten mit Bemaßung.

Und den ersten von dir berechneten Wert.

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Habt ihr noch einen PC mit Windows XP. ?

Dann kann ich dir jetzt oder später einmal
das Programm zur Verfügung stellen.

Unter Mitglieder findest du meine e-mail-Adresse.
Ich kann dir das Programm zurücksenden.

Unsere Vorgehensweise ( Vorschlag )
wir müssen zunächst haargenau abklären
was die Algorithmen / Berechnunges-
wege sind. Ist alles richtig dann schreibe
ich das Dos-Programm ( ist vielleicht schon
richtig ). Dann kannst du die Berechnungen
Ruck-Zuck durchführen.

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Skizze anbei, habe auch die Formeln und ein Standard-dreieck, an dem ich versuche alles abzuleiten dazu.

mfg

Christiane

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Bis lo und ro stimmen meine Ergebnisse mit
deinen überein.

Ich meine du hast die Werte für lo und
ro vertauscht

113.1692 / sin ( 90.0219 ) = lo / sin ( 449945 )
lo = 80.0150

ro = 79.9997

Die letzte Stelle ist bei mir anders.

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Hallo nochmal, ich habe mich auch ein wenig mit dem Thema befasst.
Die Bezeichnungen für lo, ro, h1, s1 scheinen vertauscht zu sein.
Ansonsten kann ich die Ergebnisse, bis auf s1 bestätigen.

alpha1 = acos((113,1692^2 + 160,0184^2 - 113,1178^2) / (2*113,1692*160,0184)) = 44,983648
beta1 = acos((113,1692^2 + 160,0201^2 - 113,1404^2) / (2*113,1692*160,0201)) = 44,994482
lambda1 = 180 - 44,983648 - 44,994482 = 90,02187
ro = 113,1692*sin(44,983648)/sin(90,02187) =  79,9999
lo = 113,1692*sin(44,994482)/sin(90,02187) = 80,0150
h1 = sin(44,983648)*80,0150 = 56,5630
s1 = sqrt(113,1692^2/4 + 79,9999^2 - 113,1692*80,0150*cos(44,983648)) = 56,5416

s1 habe ich mit a/2, lo, alpha1 und dem Kosinussatz berechnet.

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Warum denn so schrecklich kompliziert ?

Einfach in GeoGebra  Vierecksberechnung.ggb (23 kb)  unten die Daten für a, b, c, d, e verändern und fertig :

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Warum denn so schrecklich kompliziert ?

Wissen wir, ob GeoGebra mit Christianes Wafer-Software kommunizieren kann?

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Ich hoffe zuversichtlich, dass sie Georgs angekündigtes DOS-Programm versteht.

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Ich kann nur vermuten, dass sie nach Berechnungsverfahren bzw. Formeln sucht, die sie in ihre Wafer-Software einbinden kann. Zur Kontrolle ist  Vierecksberechnung.ggb doch super.

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Zur Kontrolle ist  Vierecksberechnung.ggb doch super.

Wenn man es um die gesuchten Längen ergänzt.

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Hallo gogar,

h1 = sin(44,983648)*80,0150 = 56,5630

Dies wäre die senkrechte Höhe von der
Seitenlinie bis zum Schnittpunkt.

So wie ich Christiane verstanden habe ist aber
die Länge der Strecke :
Mittelpunkt der Seitenlinie bis Schnittpunkt gesucht.

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Hallo georgborn,

ja, so habe ich das auch verstanden. Dafür habe ich s1 = 56,5416 rausbekommen.

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s1 habe ich mit a/2, lo, alpha1 und dem Kosinussatz berechnet.
aber mir fällt erst jetzt auf, ich habe s1 < h1 das kann doch wohl nicht sein ... grübel... da ist wohl noch der Wurm drin.

:-/

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Hi,

ja, ich hatte zwei Abschnitte vertauscht. jetzt bekommen ich für die Höhe und die Seitenhalbierende dasselbe heraus, nämlich 56,563.

Zitat:"Ich kann nur vermuten, dass sie nach Berechnungsverfahren bzw. Formeln sucht, die sie in ihre Wafer-Software einbinden kann. Zur Kontrolle ist  Vierecksberechnung.ggb doch super."

ja, so ist es. ich suche nach kurzen knackigen Formeln die mit in die Software können. ein zusätzliches Programm kann ich denke ich nicht koppeln.

Ich würde jetzt meine Frage als beantwortet betrachten und möchte euch noch mal allen danken. Auch das Vierecksberechnungsprogramm zum überprüfen meiner Berechnung ist echt toll.

Grüße

Christiane

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Hallo gorgar, bis zu s1 war ich bei dir noch
nicht gekommen.
s1 = sqrt(113,1692^2/4 + 79,9999^2 - 113,1692*80,0150*cos(44,983648)) = 56,5416

s1 habe ich mit a/2, lo, alpha1 und dem
Kosinussatz berechnet.

Muß es nicht heißen
c = lo = 80.0150 
b = 113.1692 / 2
α = 44.9836 °

(s1)^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos ( α )
(s1)^2 = 3201.817 + 6402.4 - 2 * 56.5846 * 80.0150 * 0.7073
(s1)^2 = 3199.450319
s1 = 56.5637

---

Ich habe meinen Fehler gefunden, ich habe ausversehen beim copy&paste ro anstatt lo in meine Formel eingesetzt.
Jetzt bekomme ich für h1 = s1 = 56,5630 dasselbe raus wie Christiane, wenn ich auf die
vierte Nachkommastelle runde. Bei weiterer Auflösung bekomme ich
h1 = 56,5629993 und
s1 = 56,5630003
Aber das ist vermulich nicht mehr sinnvoll, so weit nach dem Komma zu runden.

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Falls du weitere Unterstützung benötigst
dann bitte wieder melden.

mfg Georg

Answer 3

Mit deinen 6 Angaben hast du eigentlich zu viele Parameter. Normalerweise wird sich da eher ein räumliches Gebilde (schiefes Tetrader / Pyramide) ergeben oder (wenn die Zahlen ungeschickt sind, geht es gar nicht.

Betrachte erst die Konstruktion deines Vierecks ABCD (Schnittpunkt der Diagonalen (falls er existiert) sei S) .

1. Du kannst zuerst das Dreieck ABC konstrieren (kennst alle Seiten).   
2. Dann in C und A die passenden Seitenlängen c und d abtragen → Punkt D ist fest.    
3. Verbinde nun D und B. Mit sehr viel Glück ist die Strecke | DB | dann genau so lang, wie das vorgegeben ist. 

Das heisst für deine Rechnung bisher:

Betrachte erst die Konstruktion deines Vierecks ABCD (Schnittpunkt der Diagonalen (falls er existiert) sei S) .    
1. Du kannst zuerst das Dreieck ABC konstrieren (kennst alle Seiten). --> Cosinussatz liefert alle Winkel von Dreieck ABC      
2. Dann in C und A die passenden Seitenlängen c und d abtragen → Punkt D ist fest und du kannst mti dem Cosinussatz alle Winkel von Dreieck ACD ausrechnen. 

3. Verbinde nun D und B. Mit sehr viel Glück ist die Strecke | DB | dann genau so lang, wie das vorgegeben ist und du kannst mit Hilfe der Winkel, die du nun alle ausrechnen kannst, auch die Diagonalenabschnitte berechnen. Danach kennst du die vier kleinen Dreiecke genau und kannst auch deren Höhen ausrechnen. (Wiederum trigonometrisch)

Comments

Hi,

danke für die Antwort. Ich will das Ding nicht konstruieren, ich messe die 6 Abstände, brauche aber eigentlich die vier farbigen. Es gibt das Viereck sicher und die Diagonalen schneiden sich auch sicher. Mein Messgerät hat eine systematische Messabweichung < 1 µm, also sollte die Diagonale dann auch wirklich passen. (Exkurs: ich kann ja mal zur Überprüfung die Diagonalen berechnen und mit der Messung vergleichen, danke für die Idee!)

Ich muss die Abweichung zur Idealform messen, wobei die Idealform ein Quadrat mit Seitenlänge 113,138 mm ist. Die Abweichung ist maximal jeweils +/-90 µm, also 113,048 mm bis 113,228 mm. Da aber jede Seite anders abweicht, habe ich weder rechte Winkel noch gleiche oder parallele Seiten, trotzdem sieht es optisch für das menschliche Auge noch wie ein Quadrat aus.

Für mich stellt sich die Berechnung in Teilschritten so dar:

1.vier Dreiecke je aus einer Diagonalen und zwei Vierecksseiten bilden, deren Winkel mit cosinussatz berechnen ==> kann ich machen, das schaffe ich

2. ich kann mit Hilfe der Winkel die Diagonalabschnitte berechnen - wie? das kann ich nicht

3. mit den Diagonalabschnitten bilde ich vier neue Dreicke aus je zwei Diagonalabschnitten und einer Seite ==> wie berechne ich dann die Höhe in diesen Dreiecken?

mfg

Christiane

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Hallo Christiane,

es würde die Rechnung sehr vereinfachen, wenn die Koordinaten der Eckpunkte des Vierecks bekannt wären. Stehen Dir diese als X-,Y-Werte zur Verfügung?

BTW: Welchen Hintergrund - bzw. Zweck - hat es, die Höhen der Teildreiecke zu berechnen?

Gruß Werner

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Hallo Christiane,

"2. ich kann mit Hilfe der Winkel die Diagonalabschnitte berechnen - wie? das kann ich nicht "

Du kennst 3 Winkel (3. Winkel über die Winkelsumme 180° ausrechnen) und eine Seite. Da nimmt man dann den Sinussatz (zuerst mit dem Winkel im Diagonalenschnittpunkt, der grösser als 90° ist) Bei dir somit gelber oder grüner Teil. 

Beantworte aber auch noch Werners Frage. Mit andern Angaben als Streckenlängen, wäre es viel einfacher. 

---

Danke für die Hilfe.

1. wozu ich diese Strecken berechnen muss ist echt schwierig zu erklären - dazu müsste ich den ganzen Prozess hier darlegen. Kurz: ich messe die farbigen Strecken aktuell über einen aufwendigen indirekten Prozess und möchte mit einem neuen schnellen und automatischen Messgerät diese aufwendige indirekte Messung abschaffen. Die neue Messung misst aber aus Erkennungsgründen nur die vier Außenpunkte, also alle schwarzen Abstände. Ich habe dann einfach die Summe der beiden vertikalen kurzen der alten Messung mit dem Mittelwert der beiden vertikalen Seiten der neuen Messung korreliert, die Korrelation ist aber nicht so toll. Für horizontal ist es noch schlechter. Daher wollte ich es umrechnen in dieselben Streckenabschnitte um direkt korrelieren zu können. Wahrscheinlich ist das Grundproblem, dass die neue Messung die Mitte nicht bestimmen kann, die alte, indirekte Messung kann das.

2. Ich habe auch schon überlegt, einfach eine Ecke (A) als 0/0 zu bezeichnen, und dann eine weitere, z.B. D, als 0/113,140 und dann alles in Koordinaten auszurechnen, aber die Koordinatengleichungen sind ewig lang, allein die für den Schnittpunkt zweier Strecken ist riesig. Ich habe gehofft es ginge ohne Koordinaten, zumal ich als Endergebnis wieder nur Streckenlängen brauche. Ich muss ja alle diese Berechnungen mit in die Messroutine packen oder in die Regelkartensoftware, und die mögen lange Berechnungen nicht.

3. Ich versuche es jetzt mal so mit den cosinus- und sinus-Sätzen über die Bestimmung aller Winkel, am Ende beim Berechnen der Höhe habe ich ja endlich wieder einen rechten Winkel, das werde ich dann schon schaffen.

mfg

Christiane

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Hallo Christiane,

Du schriebst: "Die neue Messung misst aber aus Erkennungsgründen nur die vier Außenpunkte, also alle schwarzen Abstände."

Es macht schon einen Unterschied und ist uns auch nicht klar, ob die Messmaschine die Koordinaten der vier Punkte des Vierecks misst oder nur die Abstände dazwischen. Diese Frage hast Du noch nicht beantwortet.

Soweit ich das verstehe, hat das bisherige Messverfahren die Werte für die Höhen direkt vermessen. Kann Dein Messverfahren auch die Abstände der vier Eckpunkte von \(M\) direkt vermessen? - auch das würde helfen.

Wofür muss eine Chemikerin solche Messungen machen? Und was ist an der Mitte so besonders und wofür benötigt man die Längen für die Höhen?

Warum ich das alles frage? Weil ich vermute, dass wir hier ein XY-Problem vor uns haben!

Gruß Werner

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okay, ich versuche es zu beschreiben. Ich bin in der Halbleiterei, da machen Chemiker durchaus nicht nur chemische dinge (deswegen liebe ich diesen Job - irre abwechslungsreich).

Ich bedrucke Wafer (runde Scheiben) durch ein Sieb (viereckig) mit einer Struktur. Das Sieb dehnt sich mit dem Alter. Bisher drucke ich einen Wafer mit referenzlinien und messe dann wieviel der Druck von den Referenzlinien an den vier äußersten Strukturen in bezug zur Struktur in der Mitte abweicht. Ohne Koordinaten wird eine Länge gemessen, die in Bezug auf die Mitte gemessen wird ==> die 4 farbigen Strecken.

Da ich dafür das Sieb in die Anlage packen muss, voll Druckfarbe schmieren, den Wafer drucken, diesen trocknen und dann erst messen kann (30-40 Minuten), soll das durch eine Messung direkt am Sieb ersetzt werden. V.a. wenn sich herausstellt, dass der Verzug die zulässige Grenze überschritten hat (Alter des Siebes) und dieses weggeschmissen werden muss - dann war der ganze Aufwand für die Katz.

Ich habe ein neues Messgerät, dass direkt auf dem sieb misst (dauert 1 min, keine Farbe). Das Sieb hat zusätzlich zur Struktur, die es auf den Wafer druckt, Justagekreise. Diese lassen sich ganz toll automatisiert erkennen. Diese liegen aber in den Ecken statt auf den seitenmitten, der runde Wafer kommt mit diesen Justagemarken nicht in Berührung. Mein neues Messgerät misst jetzt den abstand, ohne Koordinaten, dieser vier Justagekreise und vergleicht mit dem idealen Soll (113,138 mm, Diagonale 160,001 mm). Ich kann mal 6 Beispielwerte einer Messung hinschreiben:

oben=113.1692 mm
rechts=113.1178 mm
unten=113.1753 mm
links=113.1404 mm
links-oben nach rechts-unten=160.0184 mm
links-unten nach rechts-oben=160.0201 mm

Die indirekte umständliche Messung liefert mir z.B. (das ist jetzt nicht die dazu passende, sondern irgendein Beispiel:)

oben-Mitte: +32 µm

mitte-unten: -16 µm

rechts-mitte: +15 µm

links-mitte: +34 µm

wie gesagt, ich habe dann Mittelwert (oben;unten) mit (rechts-mitte + links-mitte) korreliert und Mittelwert (rechts;links) mit (oben-mitte + unten-mitte), bin aber nicht ganz glücklich mit der Korrelation, weil mir der Bezug zur mitte fehlt, häufig ist ein Sieb nicht gleichmäßig verzogen sondern eher punktuell. Ich habe aber in der Mitte keine automatisch lesbare Marke. Wahrscheinlich wird die Korrelation gar nicht besser, wenn ich aus den jetzigen Daten, die eben nur leidlich (30%) korrelieren, etwas anders berechne und dann das korreliere, aber trotzdem würde es sich besser anfühlen die gleichen Streckenabschnitte zu vergleichen.

Bei punktuellem Verzug ist natürlich die errechnete Mitte nicht unbedingt die reale Mitte, ich denke ich habe ein grundsätzliches Problem. Aber das wäre auch für alle transparenter, die darüber entscheiden müssen, wenn ich gleiche Strecken vergleichen würde.

Vektorrechnung und Kreuzprodukt habe ich halt wirklich im Gymnasium zuletzt gemacht, vielleicht ist zu hoch falsch gesagt, aber sehr weit entfernt auf jeden Fall.

mfg

Christiane