Vierecksberechnung (Höhen der innenliegenden Dreiecke)

Question

Vierecksberechnung (Höhen der innenliegenden Dreiecke)

3 Antworten

Ein anderes Problem?

Werner-Salomon · Answer 1 · 2017-07-25T21:44:31+0000

Hallo Christiane,

mal angenommen, die Koordinaten der vier Eckpunkte des Vierecks sind bekannt (falls nicht siehe unten). Dann kann man die Höhen (fast) hinschreiben. Ich benenne dazu die Seitenvektoren mit $a$ bis $d$ und den Vektor von Punkt $A$ nach Punkt $C$ mit $e$. Die Höhe vom Schnittpunkt der Diagonalen $M$ auf den Vektor $a$ sei $h_a$ usw. Weiter sei der Vektor von $A$ nach $M$ $=t \cdot e$

Bild Mathematik

Dann gilt:

$$h_a=\frac{1}{|a|}a \times (t \cdot e)$$

$$h_b=\frac{1}{|b|}b \times (t \cdot e - a)$$

$$h_c=\frac{1}{|c|}((1-t) \cdot e) \times c$$

$$h_d=\frac{1}{|d|}d \times (t \cdot e)$$

Beachte bitte, dass ich $d$ von $D$ nach $A$ laufen lasse. Das $\times$ ist das Kreuzprodukt im 2-dimensionalen - d.h. es ist

$$u \times v = \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}= u_x \cdot v_y - u_y \cdot v_x$$Die Werte in Betragsstrichen $||$ sind jeweils die Seitenlängen. Den Wert für $t$ erhält man aus dem Geradenschnittpunkt

$$a + s(d +a)= t \cdot e \quad \Rightarrow \left[ e; \space -(d+a)\right] \cdot \begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix} = a$$

Falls die Koordinaten nicht gegeben sind, so setze $A$ in den Ursprung und $a$ zu

$$a = \begin{pmatrix} |a| \\ 0 \end{pmatrix}$$

Die Koordinaten von $C$ (den Vektor $e$) und $D$ (den Vektor $-d$) kann man anschließend als Schnittpunkt zweier Kreise berechnen. Siehe hier. Falls noch Fragen dazu sind; dann melde Dich bitte wieder

Gruß Werner

georgborn · Answer 2 · 2017-07-25T11:03:44+0000

so, jetzt habe ich es mit Cosinussatz und Dreiecksberechnungen ohne Koordinaten ausgerechnet, denn wenn ich die Winkel und eine Seite habe, kann ich die Längen der Diagonalenabschnitte ja berechnen. Dann kenne ich das kleine Teildreieck aus Seitenlänge und Diagonalbschnitten bis zum Schnittpunkt vollständig mit allen Seitenlängen und Winkeln. Ich habe dann Höhe und Seitenhalbierende berechnet, dann kann ich schauen was besser zu meinen Daten passt.

Also quasi

1. Dreieck A-B-D = alle Seiten bekannt, Winkel bei A berechnen. (So fängt dein Lösungsweg ja auch an.)

2. Dreieck A-B-C = alle Seiten bekannt, Winkel bei B berechnen.

3. Für Dreieck A-B-M den dritten Winkel berechnen: 180- (Winkel bei A+Winkel bei B)

4. Über WSW-Satz die Längen der Diagonalabschnitte im Dreieck A-B-M berechnen

5. alle Längen und Winkel in A-B-M bekannt, Höhe und Seitenhalbierende zu A-B mit Standardformel ausrechnen.

Ich kriege für Höhe oben-Mitte: 56,5737 raus, also +4,7 µm.

Als Seitenhalbierende oben-mitte 56,563, also -6 µm.

Interessant, welchen Unterschied das macht. Keines der beiden stimmt mit deiner Berechnung überein, kannst du dir das erklären? Ist in meinem weg ein Fehler? Ich wollte mich einfach nicht damit zufreidengeben, dass die wirklich aufwändige Umwandlung in Koordinaten notwendig ist, wenn ich am Schluss wieder nur eine Länge brauche. Habe ich aber auch lange drüber nachgedacht bis ich auf den Weg gekommen bin.

Die anderen Seiten habe ich noch nicht, ich brauche immer so lange bis ich alle Strecken und Winkel richtig zugeordnet habe (räumliches Vorstellungsvermögen - ich muss die Dreiecke ja im Kopf drehen und wieder auf dieselben Formeln packen). Ich schicke das später nochmal.

Grüße

Christiane

Kommentiert 28 Jul 2017 von viereck437

Lu · Answer 3 · 2017-07-25T12:21:54+0000

Mit deinen 6 Angaben hast du eigentlich zu viele Parameter. Normalerweise wird sich da eher ein räumliches Gebilde (schiefes Tetrader / Pyramide) ergeben oder (wenn die Zahlen ungeschickt sind, geht es gar nicht.

Betrachte erst die Konstruktion deines Vierecks ABCD (Schnittpunkt der Diagonalen (falls er existiert) sei S) .

1. Du kannst zuerst das Dreieck ABC konstrieren (kennst alle Seiten).
2. Dann in C und A die passenden Seitenlängen c und d abtragen → Punkt D ist fest.
3. Verbinde nun D und B. Mit sehr viel Glück ist die Strecke | DB | dann genau so lang, wie das vorgegeben ist.

Das heisst für deine Rechnung bisher:

Betrachte erst die Konstruktion deines Vierecks ABCD (Schnittpunkt der Diagonalen (falls er existiert) sei S) .
1. Du kannst zuerst das Dreieck ABC konstrieren (kennst alle Seiten). --> Cosinussatz liefert alle Winkel von Dreieck ABC
2. Dann in C und A die passenden Seitenlängen c und d abtragen → Punkt D ist fest und du kannst mti dem Cosinussatz alle Winkel von Dreieck ACD ausrechnen.

3. Verbinde nun D und B. Mit sehr viel Glück ist die Strecke | DB | dann genau so lang, wie das vorgegeben ist und du kannst mit Hilfe der Winkel, die du nun alle ausrechnen kannst, auch die Diagonalenabschnitte berechnen. Danach kennst du die vier kleinen Dreiecke genau und kannst auch deren Höhen ausrechnen. (Wiederum trigonometrisch)

Beantwortet 25 Jul 2017 von Lu

Hi,

danke für die Antwort. Ich will das Ding nicht konstruieren, ich messe die 6 Abstände, brauche aber eigentlich die vier farbigen. Es gibt das Viereck sicher und die Diagonalen schneiden sich auch sicher. Mein Messgerät hat eine systematische Messabweichung < 1 µm, also sollte die Diagonale dann auch wirklich passen. (Exkurs: ich kann ja mal zur Überprüfung die Diagonalen berechnen und mit der Messung vergleichen, danke für die Idee!)

Ich muss die Abweichung zur Idealform messen, wobei die Idealform ein Quadrat mit Seitenlänge 113,138 mm ist. Die Abweichung ist maximal jeweils +/-90 µm, also 113,048 mm bis 113,228 mm. Da aber jede Seite anders abweicht, habe ich weder rechte Winkel noch gleiche oder parallele Seiten, trotzdem sieht es optisch für das menschliche Auge noch wie ein Quadrat aus.

Für mich stellt sich die Berechnung in Teilschritten so dar:

1.vier Dreiecke je aus einer Diagonalen und zwei Vierecksseiten bilden, deren Winkel mit cosinussatz berechnen ==> kann ich machen, das schaffe ich

2. ich kann mit Hilfe der Winkel die Diagonalabschnitte berechnen - wie? das kann ich nicht

3. mit den Diagonalabschnitten bilde ich vier neue Dreicke aus je zwei Diagonalabschnitten und einer Seite ==> wie berechne ich dann die Höhe in diesen Dreiecken?

mfg

Christiane

Kommentiert 25 Jul 2017 von viereck437

Danke für die Hilfe.

1. wozu ich diese Strecken berechnen muss ist echt schwierig zu erklären - dazu müsste ich den ganzen Prozess hier darlegen. Kurz: ich messe die farbigen Strecken aktuell über einen aufwendigen indirekten Prozess und möchte mit einem neuen schnellen und automatischen Messgerät diese aufwendige indirekte Messung abschaffen. Die neue Messung misst aber aus Erkennungsgründen nur die vier Außenpunkte, also alle schwarzen Abstände. Ich habe dann einfach die Summe der beiden vertikalen kurzen der alten Messung mit dem Mittelwert der beiden vertikalen Seiten der neuen Messung korreliert, die Korrelation ist aber nicht so toll. Für horizontal ist es noch schlechter. Daher wollte ich es umrechnen in dieselben Streckenabschnitte um direkt korrelieren zu können. Wahrscheinlich ist das Grundproblem, dass die neue Messung die Mitte nicht bestimmen kann, die alte, indirekte Messung kann das.

2. Ich habe auch schon überlegt, einfach eine Ecke (A) als 0/0 zu bezeichnen, und dann eine weitere, z.B. D, als 0/113,140 und dann alles in Koordinaten auszurechnen, aber die Koordinatengleichungen sind ewig lang, allein die für den Schnittpunkt zweier Strecken ist riesig. Ich habe gehofft es ginge ohne Koordinaten, zumal ich als Endergebnis wieder nur Streckenlängen brauche. Ich muss ja alle diese Berechnungen mit in die Messroutine packen oder in die Regelkartensoftware, und die mögen lange Berechnungen nicht.

3. Ich versuche es jetzt mal so mit den cosinus- und sinus-Sätzen über die Bestimmung aller Winkel, am Ende beim Berechnen der Höhe habe ich ja endlich wieder einen rechten Winkel, das werde ich dann schon schaffen.

mfg

Christiane

Kommentiert 26 Jul 2017 von viereck437

Hallo Christiane,

Du schriebst: "Die neue Messung misst aber aus Erkennungsgründen nur die vier Außenpunkte, also alle schwarzen Abstände."

Es macht schon einen Unterschied und ist uns auch nicht klar, ob die Messmaschine die Koordinaten der vier Punkte des Vierecks misst oder nur die Abstände dazwischen. Diese Frage hast Du noch nicht beantwortet.

Soweit ich das verstehe, hat das bisherige Messverfahren die Werte für die Höhen direkt vermessen. Kann Dein Messverfahren auch die Abstände der vier Eckpunkte von $M$ direkt vermessen? - auch das würde helfen.

Wofür muss eine Chemikerin solche Messungen machen? Und was ist an der Mitte so besonders und wofür benötigt man die Längen für die Höhen?

Warum ich das alles frage? Weil ich vermute, dass wir hier ein XY-Problem vor uns haben!

Gruß Werner

Kommentiert 26 Jul 2017 von Werner-Salomon

okay, ich versuche es zu beschreiben. Ich bin in der Halbleiterei, da machen Chemiker durchaus nicht nur chemische dinge (deswegen liebe ich diesen Job - irre abwechslungsreich).

Ich bedrucke Wafer (runde Scheiben) durch ein Sieb (viereckig) mit einer Struktur. Das Sieb dehnt sich mit dem Alter. Bisher drucke ich einen Wafer mit referenzlinien und messe dann wieviel der Druck von den Referenzlinien an den vier äußersten Strukturen in bezug zur Struktur in der Mitte abweicht. Ohne Koordinaten wird eine Länge gemessen, die in Bezug auf die Mitte gemessen wird ==> die 4 farbigen Strecken.

Da ich dafür das Sieb in die Anlage packen muss, voll Druckfarbe schmieren, den Wafer drucken, diesen trocknen und dann erst messen kann (30-40 Minuten), soll das durch eine Messung direkt am Sieb ersetzt werden. V.a. wenn sich herausstellt, dass der Verzug die zulässige Grenze überschritten hat (Alter des Siebes) und dieses weggeschmissen werden muss - dann war der ganze Aufwand für die Katz.

Ich habe ein neues Messgerät, dass direkt auf dem sieb misst (dauert 1 min, keine Farbe). Das Sieb hat zusätzlich zur Struktur, die es auf den Wafer druckt, Justagekreise. Diese lassen sich ganz toll automatisiert erkennen. Diese liegen aber in den Ecken statt auf den seitenmitten, der runde Wafer kommt mit diesen Justagemarken nicht in Berührung. Mein neues Messgerät misst jetzt den abstand, ohne Koordinaten, dieser vier Justagekreise und vergleicht mit dem idealen Soll (113,138 mm, Diagonale 160,001 mm). Ich kann mal 6 Beispielwerte einer Messung hinschreiben:

oben=113.1692 mm
rechts=113.1178 mm
unten=113.1753 mm
links=113.1404 mm
links-oben nach rechts-unten=160.0184 mm
links-unten nach rechts-oben=160.0201 mm

Die indirekte umständliche Messung liefert mir z.B. (das ist jetzt nicht die dazu passende, sondern irgendein Beispiel:)

oben-Mitte: +32 µm

mitte-unten: -16 µm

rechts-mitte: +15 µm

links-mitte: +34 µm

wie gesagt, ich habe dann Mittelwert (oben;unten) mit (rechts-mitte + links-mitte) korreliert und Mittelwert (rechts;links) mit (oben-mitte + unten-mitte), bin aber nicht ganz glücklich mit der Korrelation, weil mir der Bezug zur mitte fehlt, häufig ist ein Sieb nicht gleichmäßig verzogen sondern eher punktuell. Ich habe aber in der Mitte keine automatisch lesbare Marke. Wahrscheinlich wird die Korrelation gar nicht besser, wenn ich aus den jetzigen Daten, die eben nur leidlich (30%) korrelieren, etwas anders berechne und dann das korreliere, aber trotzdem würde es sich besser anfühlen die gleichen Streckenabschnitte zu vergleichen.

Bei punktuellem Verzug ist natürlich die errechnete Mitte nicht unbedingt die reale Mitte, ich denke ich habe ein grundsätzliches Problem. Aber das wäre auch für alle transparenter, die darüber entscheiden müssen, wenn ich gleiche Strecken vergleichen würde.

Vektorrechnung und Kreuzprodukt habe ich halt wirklich im Gymnasium zuletzt gemacht, vielleicht ist zu hoch falsch gesagt, aber sehr weit entfernt auf jeden Fall.

mfg

Christiane

Kommentiert 26 Jul 2017 von viereck437

Vierecksberechnung (Höhen der innenliegenden Dreiecke)

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