Matrizen symmetrisch, schiefsymmetrisch, unitär, orthogonal, selbstadjungiert oder/und diagonalisierbar

Question

Wie überprüfe ich das ? Und gibt es einen Trick wie man das sofort sieht?

Comments

Ja da gibt es einen Trick: man schlägt die Definition der Fachbegriffe nach und schaut sich die Matrizen an. Findet man auch alles bei Wikipedia ;)

Answer 1

"symmetrisch" heißt bei 2x2 Matrizen einfach nur:

oben rechts steht die gleiche Zahl wie unten links.

entsprechend "schiefsymmetrisch" :

Die beiden unterscheiden sich um das Vorzeichen.

etc.

Schlag mal die Begriffe nach und melde dich, wenn du einen

nicht verstehst.

Comments

Selbstadjungiert habe ich nicht vetstanden.

Könntest du es mir für M1 und M4 zeigen, wie ich zu prüfen habe?

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Schau mal dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Selbstadjungierte_Matrix#Eigenschaften

Also ist M1 sicher selbstadj.  und M4 nicht.

wenn du es nach der Def. prüfen willst, kannst du auch nachrechnen

etwa bei M1  mit x = (x1,x2)^T und y = (y1,y2)^T und

< M1y , x > = < y , M1x >

<=>  < (y1,y2)^T ,  (x1,x2)^T > = < (y1,y2)^T ,  (x1,x2)^T >

weil etwa M1y = y und  M1x = x gilt.

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Also ist jede symmetrische Matrux selbstadjungiert?

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Also ist jede REELLE symmetrische Matrix selbstadjungiert?   Ja !

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Ok danke

Und wie prüfe ich das bei komplexen Matrizen?

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Steht doch auch da: Wenn die transponierte gleich der konjungierten ist.

Bei deinen Beispielen also M6 und M7, aber M8 nicht.