Scheitelpunkt bestimmen von f(x) = √(x^2 + 4)

Question

Hallo

Ich möchte den Scheitelpunkt von folgender Funktionsgleichung bestimmen:

f(x) = √(x² + 4)

Ich kenne zwar drei Möglichkeiten, um den Scheitelpunkt zu bestimmen (Scheiteform, mit hilfe Quadratischer Ergänzungen oder per Nullstelle ablesen), keiner dieser Ansätze führt mich aber zum Ziel?

Mein nächstliegendster Gedanke ist, die Gleichung in die Scheitelform zu transformieren. Dabei hinder mich allerdings die Wurzel daran.

Danke schon zum Voraus für die Hilfe.

Grüsse Manqu

Answer 1

dazu bestimmst du zu erstmal den Scheitelpunkt der inneren Funktion (weil eine quadratische Funktion),also von

h(x)=x^2+4

Den kann man ablesen, S1 (0,4)

Die Scheitelstelle überträgt sich nun auf die Gesamtfunktion

f(x)=√h(x)=√(x^2+4)

f(0)=2

S2(0,2)

Das funktioniert aber nur, weil die Wurzelfunktion streng monoton wachsend verläuft.

Comments

Besten Dank ich denke ich damit verstehe ich.

Answer 2

f(x) = √(x² + 4)

Nimm erst mal g(x) = x^2 + 4 . Das ist eine quadratische Funktion. Die Scheitelpunktform der Gleichung lautet schlicht:  g(x) = (x-0)^2 + 4. Nun Scheitelpunkt ablesen: S(0 | 4) .

f(x) = √(x² + 4) ist wegen der Wurzel gar keine quadratische Funktion und du kannst geometrisch gar nicht den Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen. 

Aber du solltest ohne Rechnung erkennen, dass das Minimum von f an der Stelle x=0 gefunden werden kann:

  f(0) = √(0² + 4) = √(4) = 2. 

Grund: Das Quadrat kann nie kleiner als 0 sein. 

Zur Erinnerung: Scheitelpunktform: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen#sp 

Answer 3

Vielleicht hilf der Plot und die Erkenntnis, dass hier f(x) = f(-x) gilt.

~plot~ sqrt(x^2 +4) ~plot~

Comments

Leider nicht. Ich habe mir die Funktion schon aufgezeichnet und sehe damit den Scheitelpunkt. Aber wie kann ich ihn rechnerisch bestimmen?

Answer 4

Ich nehme an Diff-Rechnung steht dir noch nicht
zur Verfügung. Ansonsten ist es die vielleicht
kürzeste Lösung.

f ( x ) = √ ( x^2 + 4 )
f ´( x ) = ( 2 * x ) / [ 2 * √ ( x^2 + 4 ) ]
( 2 * x ) / [ 2 * √ ( x^2 + 4 ) ] = 0
2 * x =0
x = 0
S ( 0 | 2 )

Comments

Wir wohl im kommenden Studium Thema sein. Aber danke trotzdem