Wie löst man die Gleichung mit Wurzel nach x auf? ^{3x}√ 3 = 3^{1/[3x]}

Question

Die umkreisten Umformungsschritte verstehe ich nicht kann sie mir bitte jemand erkären 

Answer 1

In der zweiten Zeile hast Du links und rechts jeweils die Basis 3.
Die Gleichung ist erfüllt, wenn die Exponenten gleich sind, das x ist aber noch unbekannt. Dafür werden die Exponenten in Zeile 3 gleichgesetzt, um das gesuchte x mit der pq-Formel zu berechnen.

Das eingekreiste in Zeile 2 entsteht so: Die n-te Wurzel aus 3 ist 3^1/n
Setze n = 3x, dann hast Du 3^1/3x

3^x / 3^1/3x kannst Du mit den Potenzgesetzen umformen und schon hast Du einen Term wie der eingekreiste in Zeile 2.

Nachtrag: Umformungsschritt in Latex eingefügt

$$ \frac{3^x}{\sqrt[3x]{3}} = \frac{3^x}{3^{\frac{1}{3x}}} = 3^{x - \frac{1}{3x}} $$

Nachnachtrag: Rechnung ohne pq-Formel hinzugefügt.

$$x - \frac{1}{3x} = \frac{1}{6}  \\ \frac{3x^2-1}{3x} = \frac{1}{6} \\ 6\left(3x^2-1  \right) = 3x  \\ 18x^2 - 3x - 6 = 0\\6x^2-x-2=0\\(2x+1)(3x-2)=0$$

Den Satz vom Nullprodukt anwenden: \( \\(2x+1)=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \\(3x-2)=0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \)

Answer 2

^3x√ 3 = 3^{1/[3x]}

3^x /  3^{1/[3x]} = 3^{x-1/[3x]}
3^{x-1/[3x]} = 3^{1/6}  | dieselbe Basis, dann müssen die
Exponenten auch übereinstimmen
x - 1/(3x) = 1/6
x^2 - 1/3 = 1/6 * x
x^2 - 1/6 * x - 1/3 = 0

x = -1/2
x = 2/3

Die Probe stimmt.