es gilt ja: ∑ 1/n² ist konvergent und ∑1/n divergent.
Was passiert aber wenn der Exponent zwischen 1 und 2 liegt, also zum Beispiel bei der Reihe ∑ 1/n1.5 ?
Würde diese Reihe immer noch divergieren oder konvergiert sie schon?
Warum soll 1/n divergieren?
Wenn ich ein paar Tage vor meiner Mathe II Klausur noch nicht ganz bescheuert bin, sollte die Reihe ∑ (n=1 bis ∞) 1/n divergieren :D
Un warum sollte dann 1/n^2 nicht divergieren? Wo ist da der große Unterschiede, wenn n gegen unendlich geht?
Der Bruch geht doch in beiden Fällen gegen Null.
So wie du argumentierst würde ja jede Reihe ∑ an konvergieren, solange an eine Nullfolge ist.
Die an müssen eine Nullfolge bilden, ist aber nicht ausreichend für die Konvergenz der Reihe.
∑ 1/n² = π²/6 konvergiert also ziemlich sicher.
Sorry, da war ich auf dem falschen Dampfer. Du hast natürlich recht. Ich habe das Summenzeichen nicht wirklich beachtet. :)
Tipp: vergleiche mit den Reihen über 1/n und 1/n^2
@Gast jc2144:
Wie soll das hier gehen?
Es gilt ja weder 1/n1.5 <1/n² noch 1/n1,5>1/n
Wie soll ich hier mit 1/n oder 1/n² abschätzen?
Sry hab mich vertan, so kann man es nicht zeigen.
Eine andere Möglichkeits ist die Verwendung des Integralkriteriums, wenn ihr dies schon verfügbar habt.
Hallo Simon, (n=1 bis oo)∑1/nα mit α ∈ IR ist die allgemeine harmonische Reihe.Sie divergiert für α <= 1 und sie konvergiert für α > 1. (Also konvergiert sie erst recht auch für 1 < α < 2.)https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Beschr%C3%A4nkte_Reihen_und_Konvergenz#Anwendung:_Konvergenz_der_allgemeinen_harmonischen_ReiheBeste Grüßegorgar
Hallo Gorgar :)
Also könnte ich meine Reihe beispielsweise mit 1/n1.5 < 1/n1.3 abschätzen und damit die Konvergenz begründen?
Begründen kannst Du es damit, dass es eine allgemeine harmonische Reihe mit α >1 ist.
P.S. Also könnte ich meine Reihe beispielsweise mit 1/n1.5 < 1/n1.3 abschätzen und damit die Konvergenz begründen?Ja, so kannst Du die Konvergenz von ∑1/n1.5 begründen. Aber dafür musst Du ja auch zeigen oder begründen, dass ∑1/n1.3 konvergent ist(Die Majorante muss ja eine konvergente Reihe sein.).
Stimmt. Deine Begründung passt besser :)
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