Polarkoordinaten. Wie kommt man auf diese Winkel?

Question

Heyy,

Ich weiss nicht wie man in d) - f)   auf die Winkeln kommt... auch wenn negative winkeln rauskommen und ich +180 nehme kommen die Ergebnisse... Kann mir jemand die Rechnungsschritte wie man auf die Winkel kommt schreiben? Würde mich echt freuen...

Werde auf jeden Fall die beste Antwort markieren :D

Danke euch voraus.

MfG.

Aufgabe:

Die folgenden Punkte sind in kartesischen Koordinaten gegeben. Bestimmen Sie deren Polarkoordinaten.

d) P(1,5|-1,2),  e) P(-2,2|-1),  f) P(0|-2)

Lösung:

d) P(1,92|321,34)

e) P(242|204,44)

f) P(2|270)

 

Answer 1

Hallo mistermathe! :-)

Ich versuche mal eine Erklärung.

Es kommt auf die Vereinbarung drauf an, wie die Winkel angegeben werden
(In der Technik z.B. sind Winkelangaben im Intervall -pi < phi <= pi bzw. -180° < phi <= 180° üblich.) Deinen Ergebnissen zufolge habt ihr offensichtlich  0° <= phi < 360° gewählt, im Grunde genommen so, wie man es vom Schulunterricht her kennt: Man startet auf der positiven x-Achse und zählt die Winkelgrade in mathematisch positiver Drehrichtung, gegen den Uhrzeigersinn.

Ist die Vereinbarung bekannt, bzw. festgelegt, wie die Winkel angegeben werden, ist der Rest leicht. Anhand der Vorzeichen der x- und der y-Koordinate können wir, ohne etwas zu rechnen, schon sehen, in welchem Quadranten der Punkt liegt:(Und damit auch den Bereich des Winkels abgrenzen.)

x positiv, y positiv: 1. Quadrant ( Bereich 0° bis 90°)
x negativ, y positiv: 2. Quadrant ( Bereich 90° bis 180°)
x negativ, y negativ: 3. Quadrant ( Bereich 180° bis 270°)
x positiv, y negativ: 4 Quadrant ( Bereich 270° bis 360°)

Daraus können wir uns ein einfaches Kochrezept ableiten.
Da uns der Winkel interessiert, rechnen wir arctan(y/x).
Die Arkustangensfunktion spuckt uns entweder einen positiven oder einen negativen Winkel aus. Ist der Winkel arctan(y/x) negativ, machen wir einfach einen positiven Winkel daraus: |arctan(y/x)|.

Befindet sich der Winkel im 1. Quadranten, sind wir mit phi = arctan(y/x) fertig.
Befindet sich der Winkel im 2. Quadranten, rechnen wir phi = 180° - |arctan(y/x)|
Befindet sich der Winkel im 3. Quadranten, rechnen wir phi = |arctan(y/x)| + 180°.
Befindet sich der Winkel im 4. Quadranten rechnen wir 360° - |arctan(y/x)|.

Die vier Quadranten haben wir abgehakt. Jetzt nehmen wir an, der Punkt befindet sich auf einer der Achsen:
phi = 0° -> der Punkt liegt auf auf der positiven x-Achse(y=0) oder auf dem Ursprung(x=0, y=0).
phi = 90° -> der Punkt liegt auf der positiven y-Achse(x=0).
phi = 180° -> der Punkt liegt auf der negativen x-Achse(y=0).
phi = 270° -> der Punkt liegt auf der negativen y-Achse(x=0).

Beste Grüße
gorgar

Nachtrag:

Ist das Prinzip soweit klar, kannst Du Dir die Rechnung etwas erleichtern.
Befindet sich der Punkt im 1. Quadranten, rechne phi = arctan(y/x).
Befindet sich der Punkt im 2. oder 3. Quadranten, rechne phi = arctan(y/x) + 180°.
Befindet sich der Punkt im 4. Quadranten, rechne phi = arctan(y/x) + 360°.
Das Vorzeichen von arctan(y/x)(dass Du einfach im Taschenrechner stehen lassen kannst) führt zum richtigen Ergebnis.

Answer 2

d)

√(1.5^2 + 1.2^2) = 1.920937271

ATAN(- 1.2/1.5) = -0.6747409422 = -38.66° --> 321.34°

e)

√(2.2^2 + 1^2) = 2.416609194

ATAN(- 1/-2.2) = 0.4266274931 = 24.44° --> 204.44°

f)

√(0^2 + 0^2) = 2

Winkel 270°, da x = 0 und y = -2

Comments

könntest du bitte erklären wie du von -38.66° auf  321.34°  gekommen bist oder  24.44° --> 204.44° und wenn x=0 ist ist dann der Winkel immer 270?

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Generell darfst du bei winkeln ja 360 Grad addieren. D.h. hast du einen Negativen Winkel heraus addiert man eigentlich 360 Grad. Dann solltest du noch wissen dass bei einer negativen x-Koordinate noch 180 Grad addiert werden muss, da der arctan nur winkel im Bereich zwischen -90° und 90° loiefern kann. Daher muß man auch bei einer x-Koordinate von 0 den Winkel selber angeben.

Schaue auch unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Umrechnung_von_kartesischen_Koordinaten_in_Polarkoordinaten

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In dem von MC genannten Link findest du auch, dass man für die Berechnung der Polarkoordinaten von (x|y) mit 2 Fallunterscheidungen auskommt, die man sich auch sehr leicht merken kann, wenn man arccos  statt arctan benutzt:

r = √( x² + y²)    ;  φ =  arccos(x/r) wenn y ≥ 0       [  - arccos(x/r)  wenn y < 0 ]