z^3 = -1 alle Lösungen bestimmen

Question

ich soll folgende komplexe Gleichung lösen:

z³ = -1

Ich komme dann auf folgende Lösungen:

z₁ = cos (π/3) + i sin(π/3) = e^iπ/3

z₂ = cos (5π/3) + i sin(5π/3) = e^i5π/3

z₃ = cos (7π/3) + i sin(7π/3) = e^i7π/3

Die Musterlösung zufolge sollte aber

z₁ = e^iπ/3 , z₂ = e^3iπ/3, z₃ = e^5iπ/3

rauskommen, wobei aber meiner Meinung nach z1 und z2 identisch sind...

Würde mich über eure Meinung freuen:)

Answer 1

Hallo like,

wenn du eine richtige Lösung  z₁  =  e^i·π/3    [ e^i·φ1 ]   hast, musst du  - wegen z³  - nur noch den Vollwinkel  2π durch 3 teilen und dann sukzessive zu  φ₁  addieren, um die restlichen beiden Lösungen zu erhalten:

z₂  =   e^{i·(π/3 + 2π/3)}  =  e^i·π    ;    z₃  =  e^{i·(π + 2π/3)}  =  e^5π/3

[ der nächste Schritt (nur bei höherer Potenz von z) wäre dann 

e^{i·(5·π/3 + 2·π/3)}  = e^7·π/3  =  e^{i·(7π/3 - 2π)}  =  e^i·π/3  =  z₁  ] 

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Eine allgemeinere Beschreibung für spätere Fälle in einer meiner früheren Antworten findest du hier:

https://www.mathelounge.de/370331/wurzeln-bestimmen-sie-alle-komplexen-losungen-der-gleichung

Gruß Wolfgang

Answer 2

z₁ und z₃ deiner Lösung sind identisch.

Allerdings ist e^3iπ/3 = e^iπ ≠ e^iπ/3.

Übrigens: (-1)³ = -1 und zufälligerweise ist gerade e^iπ = -1.

Comments

Stimmen aber meine Lösungen?

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Sie stimmen. Es sind aber nicht alle Lösungen.