kommutative und assoziative Verknüpfung

Question

ich bräuchte bei einer Aufgabe hilfe.

 

Sei M eine Menge und * eine Verknüpfung auf M, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

- Es existiert ein neutrales Element.

- (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d), für alle a,b,c,d∈M.

Zeigen Sie, dass * kommutativ und assoziativ ist.

 

Soll ich die Kommutativität hier mit dem neutralen Element beweisen, also zB.

a*e=e*a=a und dann mit b,c,d auch? Oder kann ich einfach sagen x∈M: x*e=e*x=e??

Komme da gerade echt nicht weiter.

Answer 1

Ich würde hier zuerst die Assoziativität beweisen.

Seien x,y,z drei Elemente von M

Behauptung: (x*y)*z = x*(y*z)

Beweis: x*(y*z) = (x*e)*(y*z) =(gemäss Formel  (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)) = (x*y)*(e*z) = (x*y)*z qed Assoziativität.

 

Nun zur Kommutitivität:

Seien x,y Elemente von M

Behauptung x *y = y *x

Beweis: x*y = (e*x)*(y*e) = (gemäss Formel  (a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)) = (e*y)*(x*e) = y * x. qed Kommutativität.

Anmerkung: Da Assoziativität bereits bewiesen ist, darf ich Klammern im ersten Schritt erfinden und im letzten Schritt wieder weglassen.

 

Comments

Hallo Lu,

 

benutzt du für die Umstellung (a*b)*(c*d) = (a*c)*(b*d) nicht schon die Annahme der Assoziativität? Das heißt, das gilt doch eigentlich nur, wenn die Verknüpfung * assoziativ ist, oder? (Woher kommt die Gleichheit denn sonst?)

 

Grüße

Fabienne

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Das ist eine der Eigenschaften, die die Verknüpfung gemäss Text hat. Also eine Voraussetzung, die man im Beweis benutzen kann.

Das sieht man an der Einleitung: Sei…