Vektorraumbeispiel das keine Funktion ist

Question

Mein Mathelehrer hätte gerne für meine Arbeit ein weiters Beispiel für einen abstrakten Vektorraum, welches aber keine Funktion sein soll. Und da ist mein Problem .. soweit ich das überblicke behandeln wir in der Schule nur Funktionen.

Meine anderen Beispiele wären eine Matrix und alle Polynomfunktionen mit dem Grad kleiner gleich 2.


Hilfe ? ^^

Answer 1

Ein interessantes Beispiel von einem Vektorraum ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystem Ax=0. a11*x1+a12*x2+...+a1n*xn=0 .... an1*x1+an2*x2+...+ann*xn=0

Comments

tut mir leid ... aber das verstehe ich nun wirklich nicht ...

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Ja das hat so eine blöde Formatierung vom Handy aus. Du hast ja vorhin selbst von Matrizen gesprochen. Also wirst du ja etwas damit anfangen können. Deswegen hab ich dieses Beispiel gewählt

Also wenn du z.B.:

$$ a_11*x_1+a_12*x_2=0 $$

$$ a_21*x_1+a_22*x_2=0 $$

Das kann um noch konkreter zu werden, so aussehen:

$$ 5*x_1+3*x_2=0 $$

$$ 7*x_1+x_2=0 $$

Dann hast du ein homogenes Gleichungssystem. Homogen weil auf der rechten Seite 0 steht.

Wenn du das löst. Dann ist der Lösungsraum ein Vektorraum.

Allgemein kann man das auch so schreiben. Ax=0. Detailiert ist das so:

Jetzt etwas klarer?

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also kann ich a₁∗x₁+a₂∗x₂=0 behandeln wie zb die Polynomfunktionen und damit einfach die Gesetze durchrechnen, und die werden dann genauso zum lösen sein wie meine Rechnungen davor ?

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nicht die Funktionen selbst sondern der Lösungsraum.

Hier nochmal nachzulesen unter "Lösungsraum"

https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6sungsmenge

Klar solltest du die Eigenschaften eines Vektorraums zeigen können. Aber ich hab den Beweis jetzt nicht im Kopf. Ich schau mal ob ich da was finde.


Aja was ich noch erwähnen sollte. Im Allgemeinen müssen die Zeilen der A matrix nicht gleich der Spalten sein.

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Da ist eine Beweisskizze dabei:

http://www.matheboard.de/archive/505405/thread.html

Aber wenn du noch in der Schule bist, ist das glaub ich nichts für dich. Ich hab nicht gewusst, dass du das nachrechnen musst. Hätte gedacht du brauchst das nur als Beispiel.


Hab mir den Beweis nicht genau durchgesehen, aber da ist einiges, dass du vermutlich noch nie gehört hast.

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also die Lösungsmenge (=die Ergebnisse) eines homogenen Gleichungssystemes (irgendetwas mit =0) ist immer ein Vektorraum ?


also Ax = 0 ?

... naja ... ich muss das ganze in abstrakter weiße machen, deswegen bin ich leicht verwirrt noch.

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ja ich bin noch in der schule ^^

und soll darüber eine Arbeit verfassen und hab allgemein davor noch nie etwas von einem Vektorraum gehört ...
deswegen bin ich ganz froh, dass ich schon 2 Beispiele durchgerechnet habe.

und naja ich soll 15 Seiten schreiben. Mit den 3 Beispielen komme ich aber gerade mal auf 6 ... und ich hab keine Ahnung wie ich die anderen 9 voll bekommen soll ...

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https://de.wikipedia.org/wiki/Geordneter_Vektorraum

Vielleicht kannst du noch etwas über Ordnung von Vektorräumen schreiben. Aber das ist halt auch sehr theoretisch.

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Okay ich werde mir das ganze durchlesen ... vielleicht kapiere ich ja was...

aber auf jeden Fall: Danke Danke Danke ... Sie haben wirklich versucht mir zu helfen.
Normal bin ich diejenige die den anderen etwas erklärt ... aber diese Thematik versteh ich wirklich nicht so ganz.
Danke für Ihre Hilfe!

Noch einen schönen Abend!

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Du kannst auch noch über endlich erzeugte und unendlich erzeugt Vektorräume was schreiben. Da stößt du dann auch auf den Begriff einer Basis. Da kannst dann auch noch was erklären.

Oder vll auch etwas über Unterräume von Vektorräumen. Da gibt es auch einiges zu schreiben.

Dir auch nen schönen Abend! Und sag du zu mir! Bin noch nicht so alt :)