Komplexe Zahlenrechnung: G bzw. R und C sind zu berechnen

Question

Aufgabe:

Seien \( \mathrm{G}_{1}, \mathrm{C}_{1}, \mathrm{G}_{2}, \mathrm{C}_{2} \) und \( \omega>0 . \) In der Gleichung

\( \frac{1}{\mathrm{G}_{1}+\mathrm{i} \omega \mathrm{C}_{1}} \quad=\quad \mathrm{R}_{2}+\frac{1}{\mathrm{i} \omega \mathrm{C}_{2}} \)

seien

(i) \( \omega, \mathrm{R}_{2} \) und \( \mathrm{C}_{2} \) gegeben und \( \mathrm{G}_{1} \) und \( \mathrm{C}_{1} \) zu berechnen;

(ii) \( \omega, \mathrm{G}_{1} \) und \( \mathrm{C}_{1} \) gegeben und \( \mathrm{R}_{2} \) und \( \mathrm{C}_{2} \) zu berechnen.

Answer 1

die Gleichung muss in eine Art Normalform gebracht werden:

$$ \frac{1}{G_1 + i\omega C_1} = R_2 + \frac{1}{i\omega C_2}$$
$$ i\omega C_2 = (R_2 i\omega C_2 + 1) (G_1 + i\omega C_1) $$
$$ i\omega C_2 = i \omega R_2C_2G_1 + i^2 \omega^2 R_2 C_2 C_1 + G_1 + i \omega C_1  $$
$$ i\omega C_2 = i \omega R_2C_2G_1 - \omega^2 R_2 C_2 C_1 + G_1 + i \omega C_1  $$
$$ i(\omega C_2 - \omega C_1 - \omega R_2C_2G_1) + (\omega^2 R_2 C_2 C_1 - G_1) = 0 $$

Diese Gleichung wird gelöst, wenn ihr Imaginärteil und ihr Realteil verschwindet (0 wird). Der Imaginärteil ist logischerweise der Faktor nach dem "i" (links), der Realteil jener Teil, der kein i als Faktor enthält (rechts),

(i) Sind nun R₂ und C₂ vorgegeben, so ist durch

$$ \omega C_2 - \omega C_1 - \omega R_2C_2G_1 = 0 $$

$$ \omega^2 R_2 C_2 C_1 - G_1 = 0 $$

ein lineares Gleichungssystem gegeben, welches es zu lösen gilt.

(ii) Sind hingegen G₁ und C₁ gegeben, so entsteht zwar ein nichtlineares Gleichungssystem, welches aber nicht allzu schwer zu lösen ist.

MfG

Mister