Für welche c ist die Matrix invertierbar?

Question

Hallo:)

Zu der a hab ich folgendes: Ich hab zunähst die Determinante bestimmt.
det(A)= -9c²+9=> für alle c∈ℝ\{-1,1}

Comments

A besitzt für jedes c eine Determinante, wozu also die Einschränkung?

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Bei der b komm ich leider nicht voran.

Hab da für x2=1 raus

Für x1=2-cx^3

Und wie sieht dann die Lösungsmenge aus?

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Für c=1 und c=-1 ist die matrix nicht imvertierbar

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Ja, und warum?

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Weil sie dann 0 ist

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Nein, sondern weil die Determinante dann 0 ist. Deine Determinante ist aber für die beiden c-Werte gar nicht definiert...

Answer 1

Hallo like,   (habe einen Eingabefehler korrigiert)

wenn du von folgender Matrix ausgehst

⎡ c   3   1      1  1  0    5 ⎤

⎢ 2  -1  2c     0  1  0    3 ⎢

⎣ 1   4   c      0  0  1    6 ⎦

kannst du für  c ≠ ±1  mit dem Gaußalgoritmus (hässliche Rechnung :-)) folgende Matrix herstellen und damit die inverse Matrix und die eindeutige Lösung des LGS  gleichzeitig bestimmen:

[1  0  0      c/(c^2 - 1)      4·(3·c - 1)/(9·(c^2 - 1))    (6·c + 1)/(9·(1 - c^2))       2/(c+1)

 0  1  0             0                      -1/9                                 2/9                         1

 0  0  1      1/(1 - c^2)      4·(c - 3)/(9·(c^2 - 1))      (c + 6)/(9·(c^2 - 1))            2/(c+1)  

-------------------

Wenn du den GA für  c = 1 durchführst ergibt sich aus

⎡ 1   3  1  5 ⎤

⎢ 2  -1  2  3 ⎥

⎣ 1   4  1  6  ⎦

...

⎡ 1  0  1  2 ⎤

⎢ 0  1  0  1 ⎥

⎣ 0  0  0  0 ⎦

in der letzten Zeile eine Nullzeile  ( Matrix nicht invertierbar ) 

→   das  LGS hat unendlich viele Lösungen der Form  ( 2-k | 1 | k)  mit k∈ℝ

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Für c = -1  erhält man aus  

⎡ -1   3   1  5 ⎤

⎢  2  -1  -2  3 ⎥

⎣  1   4  -1  6 ⎦

...

⎡ 1  0  -1  0 ⎤

⎢ 0  1   0  0 ⎥

⎣ 0  0   0  1 ⎦

letzte Zeile  →  keine Lösung  des LGS und Matrix nicht invertierbar

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo likeeeeeee22! :-)

Bei a) habe ich dasselbe raus wie Du. A ist invertierbar, wenn Rg(A) = 3, das ist der Fall wenn c∈ℝ\{-1,1} ist.
a) habe ich mit dem Gaußalgorithmus gelöst und konnte einige Zeilen davon für b) benutzen.

b)  Für alle c ≠ -1 ist λ = ( 2/(c+1),1, 2/(c+1) )^T eine Lösung des Gleichungssystems.

 

Edit: Verbesserte Rechnung sowie Probe hinzugefügt.

Beste Grüße
gorgar

Comments

P.S. x = - 2c/(c-1)  + 2 lässt sich umformen zu x = -2(c-1)

Edit. Vorzeichenfehler korrigiert.
Danke Gast az0815

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P.S. x = - 2c/(c-1)  + 2 lässt sich umformen zu x = 2(c+1)

Hm?

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Sooooo ... wieder daheim, Probe gemacht, Fehler gefunden! :-) ::thumbsdown::
Habe die fehlerhafte Rechnung durch die verbesserte Rechnung in meiner Antwort ersetzt, sowie die Probe angehängt.

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P.S. x = - 2c/(c-1)  + 2 lässt sich umformen zu x = -2(c-1)

Edit. Vorzeichenfehler korrigiert.

Na, irgendein Fehler wird wohl noch drin sein.

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Wird wohl noch? Mit welcher Wahrscheinlichkeit?

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-2(c - 1) ≠ -2/(c - 1)

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-2(c - 1) ≠ -2/(c - 1)

Ja, das habe ich in der Rechnung korrigiert, aber nicht im Kommentar. Ich nehme an, Gast az0815 bezieht sich auf die korrigierte Rechnung.

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Wenn er sich auf die Rechnung bezieht ist es unklar warum er den Kommentar zitiert. Die Rechnung habe ich mir nicht weiter angesehen. 

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Ich bezog mich auf das Zitierte und war der Meinung, dass das die vorgenommene Änderung beschreibt.

Answer 3

DET([c, 3, 1; 2, -1, 2·c; 1, 4, c]) = 9·(c + 1)·(1 - c) ≠ 0 --> c ≠ ±1

[c, 3, 1; 2, -1, 2·c; 1, 4, c]^-1 = [c/(c^2 - 1), (3·c - 4)/(9·(c^2 - 1)), (6·c + 1)/(9·(1 - c^2)); 0, - 1/9, 2/9; 1/(1 - c^2), (4·c - 3)/(9·(c^2 - 1)), (c + 6)/(9·(c^2 - 1))]

[c/(c^2 - 1), (3·c - 4)/(9·(c^2 - 1)), (6·c + 1)/(9·(1 - c^2)); 0, - 1/9, 2/9; 1/(1 - c^2), (4·c - 3)/(9·(c^2 - 1)), (c + 6)/(9·(c^2 - 1))] * [5; 3; 6] = [2/(c + 1); 1; 2/(c + 1)]