Differentialgleichung Trennung der Veränderlichen, Newton Abkühlungsgesetz

Question

Hallo. Wie sieht der Lösungsweg der folgenden Aufgabe aus:

Ein Körper hat zu Beginn eine Temperatur von T(0)= 50 °C  und wird in einen Behälter mit konstanter Wassertemperatur mit U=20 °C eingetaucht. Dabei kühlt er innerhalb von 2 min auf 34 °C ab.Funktion des zeitlichen Temeraturverlaufs:

T'(t)= -k (T(t)-U) mit positiver Konstante k.

WIe komme ich auf die Temperatur des Körpers zum Zeitpunkt t=3 min? (Aufgabe soll mit Trennung der Veränderlichen gelöst werden und das Ergebnis soll T(3 min)=29,56°C sein. Allgemeine Lösung soll sein: T(t)=(T₀-U)e^-kt +U

Die Lösungen sind also schon da, ich komme selber aber nicht mit dem Lösungsweg hin.

Answer 1

Die Temperaturdifferenz ( 50 - 20 ) kühlt sich
exponential ab.

f ( 0 ) = 30 * e^{-k*t} = 30
f ( ∞ ) = 0
f ( 2 ) = 14 = 30 * e^{-k*2}
14 = 30 * e^{-k*2}
k = 0.3811

T ( t ) = 30 * e^{-0.3811*t} + 20;
T ( 3 ) =  30 * e^{-0.3811*3} + 20 = 29.56 °

Zur Verdeutlichung kann ich auch noch
eine Skizze anfertigen.

mfg Georg

Comments

Eine Skizze würde ich sehr gern ansehen.

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Skizze 1 zeigt dir einen Abkühlungsvoragng
auf 0 °.

Skizze 2 zeigt dir dieselbe Kurve mit derselben
Temperaturdifferenz aber in Richtung y-Achse nach
oben verschoben

T0 = 50 °
T(ende) = 20 °
Δ T = 50 -20 = 30 °
T ( t ) = ( 50 -20 ) * e^{-k*t} + 20
( 2 | 34 )
T ( 2 ) = ( 50 -20 ) * e^{-k*2} + 20 = 34
k = 0.381

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Vielen Dank, jetzt ist alles klar!

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Schön das dir weitergeholfen werden
konnte.
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