Für welche reellen Zahlen x ist die Ungleichung |x|>10|x−3| erfüllt?

Question

Komme leider nicht weiter. Man muss hier ja eine Fallunterscheidung machen oder?

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Illustration:

~plot~ abs(x);10*abs(x-3);x=30/11;x=10/3 ~plot~ 

Dich interessiert der Bereich auf der x-Achse, in dem der blaue Graph oberhalb des roten Graphen verläuft. 

Damit du den findest, schneidest du die richtigen Geradenstücke miteinander.

äquivalent dazu ist das Bestimmen der Schnittstellen der beiden Parabeln und dann wieder schauen in welchen Bereichen welcher Graph "oben" ist: 

~plot~ (x^2);100*(x-3)^2;x=30/11;[[-6|6|-1|20]];x=10/3 ~plot~ 

Answer 1

Hi,

kannst Du machen.

x < 0:

-x > -10(x-3)

-x > -10x + 30  |+10x

9x > 30

x > 30/9

Das ist ein Widerspruch zu x < 0

0 ≤ x < 3

x > -10(x-3)

x > -10x + 30  |+10x

11x > 30         |:11

x > 30/11 ≈ 2,727

Damit haben wir das Lösungsintervall von 30/11 bis 3 -> L_(1): = (30/11;3)

x ≥ 3

x > 10(x-3)

x > 10x - 30    |-x+30

9x < 30

x < 30/9 = 10/3 ≈ 3,333

Damit haben wir das Lösungsintervall von 3 bis 30/9 -> L_(2) = [3;10/3)

Sprich: L = (30/11;10/3)

Grüße

Comments

Wie kommt man auf die 3 Fälle?

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Du willst ja den Betrag auflösen. Du überlegst Dir also, wann der Betrag wirksam wird. Gerade bei x = 0, bzw. bei x = 3 ändert sich das Verhalten der beiden Beträge. Für x < 0 muss man beide Beträge durch ein Minus kompensieren, wenn man sie auflösen will. Für x > 0 kann mans einfach weglassen. Dazwischen kann man links den Betrag einfach weglassen, muss ihn rechts aber noch mit einem Minus behandeln.

Answer 2

| x | > 10 * | x-3 |

beide Seiten sind positiv.
Deshalb kann quadriert werden.
Das Relationszeichen bleibt bestehen.

x^2 > 100 * ( x -3 )^2
x^2 > 100 * ( x^2 - 6x + 9 )
x^2 > 100 x^2 - 600 x  + 900
0 > 99 x^2 - 600 x  + 900
pq-Formel. quadr.Ergäzung
Mitternachtsformel

korrigiert :
2.7272 .. 3 1/3
Alles unterhalb der x-Achse
gehört zur Lösungsmenge.