Aufgabe:
Welche reellen Zahlen \(x\notin\left\{ -1,1\right\}\) genügen der folgenden Ungleichung? $$\dfrac{\left|x\right|-1}{x^{2}-1}\ge\dfrac{1}{2}$$
Ansatz:
Ich mache hier jetzt mal die Ingrid:
Es gilt \(x^{2}=\left|x\right|^{2}\), daher lässt sich die Ungleichung auch so schreiben: $$\dfrac{\left|x\right|-1}{\left|x\right|^{2}-1}\ge\dfrac{1}{2}$$Der linke Nenner besteht aus einer Differenz zweier quadratischer Terme, so dass er gemäß der dritten binomischen Formel faktorisiert... $$\dfrac{\left|x\right|-1}{\left(\left|x\right|-1\right)\cdot\left(\left|x\right|+1\right)}\ge\dfrac{1}{2}$$ ...und gegen den linken Zähler gekürzt werden kann: $$\dfrac{1}{\left|x\right|+1}\ge\dfrac{1}{2}$$Offenbar sind beide Seiten stets positiv und die Gleichung kann gestürzt werden: $$\left|x\right|+1\le2$$Umstellen, Auflösen des Betrags und Beschränken auf den Definitionsbereich ergibt schließlich: $$-1<x<1.$$
Diskussion:
(1) Das sind etwa fünf Schritte bis zur Lösung.
(2) Fallunterscheidungen werden nicht benötigt.
(3) Dieser Thread darf NICHT mit einem ähnlich lautenden Bimmel-Thread verwechselt oder vermischt werden!
