Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, welche der folgenden Ungleichung genügen: -x² <= x + 5

Question

Bestimmen Sie die Menge aller reellen Zahlen, welche der folgenden Ungleichung genügen:

$$ -x²\quad \le \quad x+5 $$

 

Answer 1

 

-x² ≤ x + 5 | + x²

0 ≤ x² + x + 5

Ich hätte jetzt versucht, die rechte Seite der Ungleichung in Faktorschreibweise zu bringen (Satz von Vieta oder Nullstellen bestimmen), aber das scheint nicht zu funktionieren:

 

Offensichtlich gilt die Ungleichung für alle x ∈ ℝ

 

Besten Gruß

Comments

−x² ≤ x+5

Die linke Seite ist ja eine Normalparabal nach unten geöffnet und die rechts Seite eine Gerade um 5 nach oben verschoben. Die Ungleichung sieht ja dann so aus:

Du hast ja geschrieben, dass offensichtlich die Ungleichung für alle x ∈ ℝ gilt. Heißt es also, egal welchen x-Wert ich nehme, die Geradengleichung liefert mir immer einen größeren y-Wert als die quadratische Gleichung? Nur wie rechne ich so was bzw. wie kann ich das zeigen, dass die Ungleichung für alle x ∈ ℝ gilt. Ich muss immer eine Lösung mit einem Rechenweg liefern.

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Eine elegante Lösung finde ich leider auch nicht, aber folgende Argumentationskette scheint mir logisch:

Die Äquivalenzumformung von

-x² ≤ x + 5 | + x²

nach

0 ≤ x² + x + 5

ist offensichtlich korrekt.

Nehmen wir weiter an, es gäbe ein x ∈ ℝ, für das gilt

0 > x² + x + 5

dann müsste es auch - da es keine Einschränkung des Definitionsbereichs gibt - ein x geben, für das gilt

0 = x² + x + 5

Dass diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung hat, überprüfen wir einfach mit der

pq-Formel:

x_1,2 = - 1/2 ± √(1/4 - 20/4) = - 1/2 ± √(-19/4)

Da der Radikant < 0 ist, gibt es also keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

Sorry, etwas Besseres fällt mir dazu auch nicht ein.

 

Besten Gruß