Hallo Andurs,
Der Ansatz für eine Differenzialgleichung dieser Art besteht in
$$x(t)= a \cdot \text{e}^{kt} \quad a,k \in \mathbb{C}$$
Die Ableitungen sind dann:
$$x'= ak \cdot \text{e}^{kt}; \quad x''= ak^2 \cdot \text{e}^{kt}$$
Einsetzen in oben stehende Gleichung \(x'' + bx'+ 25x = 0\) ergibt
$$ak^2 \cdot \text{e}^{kt} + abk \cdot \text{e}^{kt} + 25a \cdot \text{e}^{kt} = 0$$
Dividiere durch \(a\cdot \text{e}^{kt}\)
$$k^2 + bk + 25 = 0$$
und man erhält die sogenannte charakteristische Gleichung, was hier eine quadratische Gleichung ist. Mit den beiden Lösungen
$$k_{1,2}=-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - 25}$$
Ist der Ausdruck unter der Wurzel (die Determinante) \(<0\), so sind \(k_{1,2}\) imaginäre Zahlen und da sich die beiden Lösungen additiv überlagern, hätte die Funktion \(x(t)\) die Form
$$x(t)=a_1\cdot\text{e}^{(u+v\text{i})t} + a_2\cdot\text{e}^{(u-v\text{i})t} = \text{e}^{ut}\left( a_1\cdot\text{e}^{\text{i}vt} + a_2\cdot\text{e}^{-\text{i}vt} \right)$$
Mit \(u=-\frac{b}{2}\) und \(v=\sqrt{25 - \frac{b^2}{4}}\). Jetzt gilt aber
$$\text{e}^{\text{i}\varphi} = \cos \varphi + \text{i} \sin \varphi$$
setze ich das in die Gleichung für \(x(t)\) ein, so erhält man
$$x(t)= \text{e}^{ut}\left( a_1\cdot(\cos (vt) + \text{i} \sin (vt)) + a_2\cdot(\cos (vt) - \text{i}\sin (vt) ) \right)$$ $$\space = \text{e}^{ut}\left( (a_1+a_2)\cdot\cos (vt) + \text{i}(a_1- a_2) \sin (vt) \right)$$
Da \(x(t)\) nur im reellen existiert, muss der Ausdruck \(\Re(a_1-a_2)=0\) sein. D.h. es muss gelten, dass \(a_1 = \overline{a_2}\) ist. Dafür setze ich
$$a_1=\frac{1}{2}(c_1+\text{i}c_2) \quad a_2 = \frac{1}{2}(c_1 -\text{i} c_2)$$
mit \(c_{1,2} \in \mathbb{R}\). Daraus folgt, dass
$$a_1 + a_2 = c_1 \quad \text{und} \quad a_1 - a_2 = \text{i} c_2$$
macht dann
$$x(t)= \text{e}^{ut}\left( c_1\cdot\cos (vt) - c_2 \sin (vt) \right)$$
Das heißt, man hat in diesem Fall ein schwingungsfähiges System vorliegen. Ist die Determinante der charakteristischen Gleichung \(\gt 0\), so liegt \(x(t)\) als eine e-Funktion im reellen vor und das System hat aperiodisches Verhalten.
Das System schwingt also genau dann, wenn
$$\frac{b^2}{4} - 25 < 0 \quad \Rightarrow \space |b| < 10$$
wobei \(b\) in der Praxis nur in Ausnahmefällen negativ wird. Ein negatives \(b\) würde bedeuten, dass man dem System ständig von außen Energie zuführt.
Gruß Werner
