Werte der Dämpfung b größer gleich 0 gesucht, für die durch Dgl. x´´ + bx´+ 25x = 0 das beschriebene System schwingt

Question

Hallo:

Wie löse ich folgende Aufgabe:

Werte der Dämpfung b größer gleich 0 gesucht, für die durch Dgl. x´´ + bx´+ 25x = 0 das beschriebene System schwingt.

Außerdem: Für welche Dämpfung entsteht ein aperiodisches Verhalten?

Lösung soll sein: Schwingungen für b<10. Aperiodisch für b ≥10.

Answer 1

Hallo Andurs,

allgemein kann man die Differenzialgleichung eines schwingungsfähigen Systems in dieser Form

$$x'' + 2D\omega_0 x' + {\omega_0}^2 x = 0$$

schreiben. Was letztlich aus der charakteristischen Gleichung folgt. Siehe auch hier. Für die von Dir angegebene Differenzialgleichung $x'' + bx'+ 25x = 0$  folgt daraus, dass

$$\omega_0=5; \quad D= \frac{b}{10}$$

Das System schwingt für Werte von $D \lt 1$  d.h. $b \lt 10$. Wobei es bei negativen Werten instabil wird - also sich aufschaukelt. Aperiodisches Verhalten entsteht wenn $D \ge 1$ also $b \ge 10$ ist.

Falls Du noch Fragen hast oder eine detaillierte Herleitung benötigst, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

vielen Dank. Leider haben wir die von Ihnen genannte Gleichung für schwingungsfähige Systeme nicht gegeben bzw. sollen wir es ohne diese lösen.
Wie gehe ich da vor? Könnte ich doch noch eine detaillierte Rechnung bekommen? Eventuell mit kurzen Begründungen/Erklärung der Schritte?

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Hallo Andurs,

Der Ansatz für eine Differenzialgleichung dieser Art besteht in

$$x(t)= a \cdot \text{e}^{kt} \quad a,k \in \mathbb{C}$$

Die Ableitungen sind dann:

$$x'= ak \cdot \text{e}^{kt}; \quad x''= ak^2 \cdot \text{e}^{kt}$$

Einsetzen in oben stehende Gleichung $x'' + bx'+ 25x = 0$ ergibt

$$ak^2 \cdot \text{e}^{kt} + abk \cdot \text{e}^{kt} + 25a \cdot \text{e}^{kt} = 0$$

Dividiere durch $a\cdot \text{e}^{kt}$

$$k^2 + bk + 25 = 0$$

und man erhält die sogenannte charakteristische Gleichung, was hier eine quadratische Gleichung ist. Mit den beiden Lösungen

$$k_{1,2}=-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - 25}$$

Ist der Ausdruck unter der Wurzel (die Determinante) $<0$, so sind $k_{1,2}$ imaginäre Zahlen und da sich die beiden Lösungen additiv überlagern, hätte die Funktion $x(t)$ die Form

$$x(t)=a_1\cdot\text{e}^{(u+v\text{i})t} + a_2\cdot\text{e}^{(u-v\text{i})t} = \text{e}^{ut}\left( a_1\cdot\text{e}^{\text{i}vt} + a_2\cdot\text{e}^{-\text{i}vt} \right)$$

Mit $u=-\frac{b}{2}$ und $v=\sqrt{25 - \frac{b^2}{4}}$. Jetzt gilt aber

$$\text{e}^{\text{i}\varphi} = \cos \varphi + \text{i} \sin \varphi$$

setze ich das in die Gleichung für $x(t)$ ein, so erhält man

$$x(t)= \text{e}^{ut}\left( a_1\cdot(\cos (vt) + \text{i} \sin (vt)) + a_2\cdot(\cos (vt) - \text{i}\sin (vt) ) \right)$$ $$\space = \text{e}^{ut}\left( (a_1+a_2)\cdot\cos (vt) + \text{i}(a_1- a_2) \sin (vt) \right)$$

Da $x(t)$ nur im reellen existiert, muss der Ausdruck $\Re(a_1-a_2)=0$ sein. D.h. es muss gelten, dass $a_1 = \overline{a_2}$ ist. Dafür setze ich

$$a_1=\frac{1}{2}(c_1+\text{i}c_2) \quad a_2 = \frac{1}{2}(c_1 -\text{i} c_2)$$

mit $c_{1,2} \in \mathbb{R}$. Daraus folgt, dass

$$a_1 + a_2 = c_1 \quad \text{und} \quad a_1 - a_2 = \text{i} c_2$$

macht dann

$$x(t)= \text{e}^{ut}\left( c_1\cdot\cos (vt) - c_2 \sin (vt) \right)$$

Das heißt, man hat in diesem Fall ein schwingungsfähiges System vorliegen. Ist die Determinante der charakteristischen Gleichung $\gt 0$, so liegt $x(t)$ als eine e-Funktion im reellen vor und das System hat aperiodisches Verhalten.

Das System schwingt also genau dann, wenn

$$\frac{b^2}{4} - 25 < 0 \quad \Rightarrow \space |b| < 10$$

wobei $b$ in der Praxis nur in Ausnahmefällen negativ wird. Ein negatives $b$ würde bedeuten, dass man dem System ständig von außen Energie zuführt.

Gruß Werner

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Wow, danke für die ausführliche Antwort!