Integraldarstellung des Arkuskosinus

Question

ich muss zeigen, dass $$\int _{ y }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } }  }  } dx\quad =arccos(y) $$ gilt, bisher habe ich folgendes:

$$ arccos(cos(x))=x\quad mit\quad y=cos(x)\quad und\quad y'=-sin(x)\\ \frac { d\quad arccos(y(x)) }{ dx } =1\\ \frac { d\quad arccos(y) }{ dy } *\frac { dy }{ dx } =1\\ \frac { d\quad arccos(y) }{ dy } *(-sin(x))\quad =1\\ (arccos(y))'\quad =\quad \frac { -1 }{ sin(x) } =\frac { -1 }{ \sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ (x) }  }  } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ y }^{ 2 } }  } $$

Nur leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter und muss noch die Formel zur Berechnung der Bogenlänge ausnutzen $$ f\left( h \right) =\sqrt { 1-{ h }^{ 2 } } $$

Comments

Hast Du den Satz über das Integral der Umkehrfunktion ?

Answer 1

Du hast doch schon gezeigt:

arccos(x) ist eine Stammfunktion für 1 / √(1-x²)   also auch

- arccos(x) ist eine Stammfunktion für    - 1 / √(1-x²)

Also ist das Integral über  -1 / √(1-x²)  dx von y bis 1

= - arccos(1) - (-arccos(y) )

=     0    + arccos(y)    =  arccos(y) .   q.e.d.