2x2 DGL-System Anfangswertproblem mit zweifacher Nullstelle

Question

Die Matrix sieht so aus:

$$ A = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) $$

und mein Anfangswert lautet \( x(0) = (1, −1)^t \)

Die Eigenwerte habe ich schon berechnet λ₁=1 aber den gibt es glaub 2x wegen \( (1-λ)^2 \)

Eingesetzt in A+λ*E kommt raus:

$$ \text{Eig. } ( A , \lambda ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) $$ ausgerechnet komm ich auf den Eigenvektor (1 0)

Den Anfangswert in die Formel eingesetzt komm ich auf:

$$ \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { - 1 } \end{array} \right) = C l \cdot e ^ { t } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) $$

Also ist C₁=1

und meine Lösung ist:

$$ x ( t ) = \left( \begin{array} { c } { e ^ { t } } \\ { 0 } \end{array} \right) $$

So das war mein Lösungsweg und das ist falsch, denn in den Lösungen steht ganz was anderes (leider ohne Lösungsweg)

Also wie geht diese Aufgabe, ich denke ich müsste doch eigentlich alles richtig gemacht haben?

Comments

Soll eine DGL gelöst werden? Wenn ja: Welche?

---

Vom Duplikat:

Titel: 2x2 DGL-System Anfangswertproblem mit zweifacher Nullstelle

Stichworte: differentialgleichung,system,anfangswertproblem

Es geht um diese Aufgabe:

$$ A = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \text { und Anfangswert } x ( 0 ) = ( 1 , - 1 ) ^ { t } $$

Ich habe soweit folgendes:

\( \lambda_1 bzw. \lambda_2 = 1\)

Also liegt hier eine zweifache NS vor.

Der Eigenvektor ist \( v_1 = (1,0)^T\)

also erhalten wir: \( x(t) = a*e^t*(1,0)^T+b*t*e^t*(1,0)^T\)

Das ist wie es aussieht falsch, denn nachd er AWB. kommt für a = 1 raus, was richtig ist, aber für b nix...

ich denke, dass ich hier nen anderen Ansatz als *t bei einer zweifachen Nullstelle brauche...

mfg

---

"Also liegt hier eine zweifache NS vor."... ich meine Eigenwert natürlich

---

ich habe mal was mit hauptvektoren versucht... ist das richtig so?

oder kommt am ende: x(t) = e^t(1,0)^T - e^t*t(1,0)^T

wenn ja wieso?

mfg

---

Die Aufgabe hast du doch schon vor über einem Jahr schon mal gestellt, schon wieder alles vergessen?

---

habs aber nicht gefunden... dachte dann, dass ich vielleicht als gast die frage gestellt habe...  es gab aber noch offene fragen...

---

Alternativweg... von grosserloewe (wenn jemand zufällig wieder hier drauf kommt)

---

Vom Duplikat:

Titel: 2x2 DGL-Sytem mit doppeltem Eigenwert.

Stichworte: matrix,eigenvektoren,eigenwerte,differentialgleichung

\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

hiermit wollte ich fragen, ob meine Lösung stimmt. Ich habe das so gelöst wie ich auch normalerweise Eigenvektoren zu einem doppelten Eigenwert finden würde. die Sache mit Hauptvektoren verstehe ich nicht. Ich rechne Eigenvektoren immer so, also wieso sollte das bei DGL-Systemen nicht klappen?

---

es geht eigentlich nicht um diese Aufgabe sondern eine Frage zu Eigenvektoren. Dachte ist vielleicht wert ne neue Frage zustellen. Aber ich habe das Problem gelöst:

es ging darum Eigenvektoren zu finden, da ich einen zweifachen Eigenwert hatte.

Ich habe aber eine 2x2 Matrix und die 1. Zeile sagt eindeutig x_2 = 0.

Darum kann ich nicht sagen x_2 = s z.B. . das ginge nur bei 0=0.

z.B. ist es möglich bei 3x3 matrizen bei 2 nullzeilen auf diesem wege 2 eigenvektoren zu finden...  aus der 3. zeile zB. x_3=t und der zweiten x_2 = s... dann jeweils das eine 1 das andere 0 und somit 2 eigenvektoren finden...

das stimmt oder?

mfg

Answer 1

Hi,

du hast hier einen doppelten Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit 1.

Die Matrix A ist somit nicht diagonalisierbar.

Hier sind deshalb die Hauptvektoren zu bestimmen,

siehe z.B hier:

http://www.math.uni-hamburg.de/home/kiani/lehre/DGL1/anl4_d1_1011.pdf

Da das ganze nur eine 2x2 Matrix ist gibt es neben dem Eigenvektor nur einen weiteren Hauptvektor, v=(0,1)

Für die Lösung ergibt sich nach obigen Script

x(t)=c₁ e^t (1,0) + c₂ e^t (t*(1,0)+(0,1))

Die AWB eingesetzt ergibt dann c₁=1 und c₂ =-1

Comments

Die geom. Vielfachheit ist nicht gleich der Algebraischen und deswegen nicht diagonalisierbar. 

ok das ist die Regel aber was heißt das genau? ich kann doch nun nur keine Transformationsmatrix und Diagonalmatrix bilden aber was hat das mit den Eigenvektoren genau zutun? (für die Diagonalmatrix und Transformationsmatrix braucht man ja auch die Eigenvektoren, aber wieso das nun nicht funktioniert, verstehe ich nicht)

"Da das ganze nur eine 2x2 Matrix ist gibt es neben dem Eigenvektor nur einen weiteren Hauptvektor, v=(0,1)"

was heißt das genau und wie kommt man auf (0 1)?

"Die AWB eingesetzt ergibt dann c₁=1 und c₂ =-1"

jo habs auch raus, wenn ich deinen Eigenvektor (0 1) dazunehme.
x(t)=c₁ e^t (1,0) + c₂ e^t (t*(1,0)+(0,1))

die stimmt jetzt mit der Lösung überein, die ich vom Tutor habe.

---

Die genaue Theorie hierzu kann ich dir hier leider nicht herbeten ;), deshalb habe ich das Script verlinkt, da steht eigentlich alles wichtige hierzu auf Seite 3 und 4.

Um v=v₂ zu bestimmen ist folgende Gleichung zu lösen :

$$ (A-\lambda I){ v }_{ 2 }={ v }_{ 1 } $$

wobei v₁ =(1,0) der bereits gefundene Eigenvektor ist sowie λ=1 .

Dann bekommst du die  Gleichung

$$ \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} $$

welche durch $$ { v }_{ 2 }=\begin{pmatrix} x\\1\end{pmatrix}$$ gelöst wird.

Der Einfachheit halber kann man x=0 wählen.

---

Ok kann ich dann als Zusammenfassung des ganzen folgendes sagen:

Wenn eine Matrix nicht diagonalisierbar ist, dann kann man durch

(A−λI)V2 = V1 den zweiten Eigenvektor bekommen... wie ist es bei 3x3 Matrizen? kann man da genauso den 3. Eigenvektor bekommen?

---

Achtung! Bei den zusätzlichen Vektoren handelt es sich nicht um Eigenvektoren sondern lediglich um Hauptvektoren. Bei größeren Matrizen kann man nach der Anleitung im Script weitere Hauptvektoren finden.

---

Danke dir das script ist klasse!!

PS: kannst du eventuell noch n Blick hierauf werfen bitte?

https://www.mathelounge.de/465694/eigenvektoren-differenzialgleichungssystems-anfangswert

---

hey, bin grad am fleißig wiederholen :D ich hätte eine Frage, ist lange her aber hoffe du antwortest trotzdem:

was passiert denn hier mit der "+(0,1)"...  und wieso kommt hier t*(1,0) am ende in die Lösung?

x(t)=c1 et (1,0) + c2 et (t*(1,0)+(0,1))

Und hier ist die Lösung des Tutors: hier ist t*(1,0) aber +(1,0) ist ganz weg.

$$ \left( \begin{array} { c } { e ^ { t } - t e ^ { t } } \\ { - e ^ { t } } \end{array} \right) $$

---

Die Lösung steht ja oben schon da. Wir hatten ja raus, dass c_1=1 und c_2=-1

Wenn man dann die die Lösung von mir in einen Vektor schreibt, bekommt

man

$$ c_1 e^t (1,0) + c_2 e^t (t*(1,0)+(0,1))= e^t (1,0) - e^t (t*(1,0)+(0,1))=(e^t-t*e^t,-e^t) $$

was der Lösung des Tutors entspricht.

---

ja aber wieso verschwindet +(0,1) ? und wieso kommt auf einmal t* unser vektor dahin?

---

hmm ich glaube hab was interessantes gefunden... https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum#Hauptvektor... eigenvektoren sind hauptvektoren 1. ordnung? aber was heißt das jezzt genau für meine rechnung? -ich lese mal weiter

Answer 2

Hallo.

meine Berechnung , ist auch ohne Hauptvektoren möglich.

Comments

ich verstehe zwar diesen weg. bin mir nicht sicher aber bei 3x3 wäre das schwieriger. ich brauche die methode mit Hauptvektoren.

ist meine lösung aber richtig?

wie schreibe ich das denn genau auf am ende?

x(t) = e^t(1,0)^T-e^t(0,1)^T?

aber laut deiner lösung sollte es so aussehen x(t) = e^t(1,0)^T-e^t(t,1)^T? also t im eigenvektor... kann ich nicht t = 0 sagen und dann (0,1) benutzen?

mfg

---

ok also ich dachte es klappt nicht aber auch mit v_2 = (t,1)^T bekomme ich für a = 1 und b = -1 raus... dann ist ja alles gut.

die A.W.B. lautet ja x(0), also t = 0... dann setze ich also auch t im eigenvektor = 0... bzw. wenn da z.B. x(3) stehen würde, dann würde der eiigenvektor (3,1) sein?

mfg

EDIT: also ich stelle vielleicht viele fragen, und zum teil sinnlose für euch. aber es geht hier um details, die ich einfach wissen muss... ich bitte um verständnis :D