Stammfunktion und Rechenweg bei Wurzeln

Question

Was ist die Stammfunktion von 2.Wurzel X sowie die 3. Wurzel aus X²

Answer 1

es ist \(f(x)=\sqrt{x}=x^{0.5}\) und \(g(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}\). Für die Stammfunktionen gilt dann:

\(F(x)=\dfrac{1}{\frac{3}{2}}\cdot x^{0.5+1}+C=\dfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+C=\dfrac{2}{3}\cdot \sqrt{x^3}\)

\(G(x)=\dfrac{1}{\frac{5}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}+1}+C=\dfrac{3}{5}\cdot x^{\frac{5}{3}}+C=\dfrac{3}{5}\cdot \sqrt[3]{x^5}+C\)

mit \(C\in\mathbb{R}\)

André

Answer 2

Die n.Wurzel von x kann auch folgenderweise geschrieben werden: $$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$$ und die n.Wurzel von x^m kann also folgenderweise geschrieben werden: $$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$$

Um die Stammfunktion zu bestimmen wenden wir die Potenzregel an.

Answer 3

f(x)=√x=x^{1/2}

F(x)=2/3*x^{3/2}

Answer 4

$$\boxed{\text{allgemein:}\\ \int x^n\space dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c}\\ (1)\space \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx\\n=\frac{1}{2}\\⇒=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+c=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+c\\(2)\space \sqrt[3]{x^2}=\int x^{\frac{2}{3}}dx\\n=\frac{2}{3}\\⇒=\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{2}{3}+1}+c\\=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+c$$