Wie zerlegt man ein allgemeines Polynom vierten Grades in Linearfaktoren? Beispiel : -x^4 + x^3 + 19x^2 + 11x -30

Question

,

Es geht um eine allgemeine Frage die mich seit dieser Aufgabe beschäftigt.

Sei diese Aufgaben gegeben :

x^4 -8x^3 + 14x^2 + 8x -15

Die kann ja in ( ax^2 + bx + c) * (ax^2 + ax + d) umgewandelt werden (wahrscheinlich eh alles falsch).

Löse ich das auf und führe einen Vergleich durch, bekomme ich die fehlenden Werte für die Variablen.

Mein Problem liegt aber in diesem Beispiel :

-x^4 + x^3 + 19x^2 + 11x -30

Ich dachte ich könnte sie wie oben umschreiben, aber am Ende soll was der Form (x+a) rauskommen.

Jetzt verstehe ich nichts mehr. Wie finde ich heraus in was ich dieses Polynom zerlegen kann, also ob es x^2 sein muss oder x^3 in der Klammer.

Also was hier reinkommen soll : (? + bx + c)

Schönen Abend noch

Answer 1

Hi,

das üblichste Vorgehen zur Linearfaktorbestimmung ist die Bestimmung der Nullstellen. Bei einem Polynom vierten Grades beschränkt man sich meist auf das Finden von einer Lösung um dann eine Polynomdivision durchführen zu können. Das macht man danach nochmal und schon hat man den Grad um zwei reduziert und kann bspw. die pq-Formel nutzen.

Hier wäre eine Nullstelle x_(1) = 5, wie man durch ausprobieren schnell findet. Damit kann man die Polynomdivision durchführen zu:

(x^4  - 8x^3  + 14x^2  + 8x  - 15) : (x - 5)  =  x^3 - 3x^2 - x + 3 
-(x^4  - 5x^3)                    
 ——————————————
      - 3x^3  + 14x^2  + 8x  - 15
    -(- 3x^3  + 15x^2)           
      ———————————
                - x^2  + 8x  - 15
              -(- x^2  + 5x)     
                ————————
                         3x  - 15
                       -(3x  - 15)
                         —————
                                0

Wie gesagt, muss noch ein weiteres Mal die Polynomdivision durchgeführt werden. Dazu rät man eine weitere Nullstelle, bspw. x_(2) = 3

(x^3  - 3x^2  - x  + 3) : (x - 3)  =  x^2 - 1 
-(x^3  - 3x^2)         
 ————————
              - x  + 3
            -(- x  + 3)
              ————
                     0

Die letzten beiden Nullstellen findet man Problemlos mittels der dritten binomischen Formel oder

x^2 = 1 --> x = ±1

Damit sind die Nullstellen x_(1) = 5, x_(2) = 3, x_(3) = -1 und x_(4) = 1

Die Linearfaktordarstellung ist dann einfach:

x⁴ -8x³ + 14x² + 8x -15  = (x-5)(x-3)(x-1)(x+1)

Alles klar?

Grüße

Comments

Danke, aber ich wollte das gleiche mithilfe eines Koeffizientenvergleich erreichen, nur leider weiß ich nicht wie die Zerlgeung am Ende sein wird. Beim ersten war es ja (x^2 + ....) * (x^2 + .....). Jetzt mit dem minus plötzlich

(x^3 + .....) * (x...). Was soll ich noch glauben :(.

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Du kannst natürlich ein:

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = ... = a b c d - a b c x - a b d x + a b x^2 - a c d x + a c x^2 + a d x^2 - a x^3 - b c d x + b c x^2 + b d x^2 - b x^3 + c d x^2 - c x^3 - d x^3 + x^4

das dann vergleichen. Aber ob Du da noch Deinen Spaß hast, würde ich zu bezweifeln wagen^^.

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P.S.: Wäre übrigens cool, wenn Du schon die Frage mit Deinem Account stellst. Wenn da dann mehrere Fragen kommen, kann man den Wissensstand oft schon einschätzen und hilft bei der Antwort ;).

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Also so langweilig ist mir nicht ^^. Kann ich also nicht vorher feststellen wie die linearfaktoren werden ? Sonst muss ich immer eine Nullstelle raten und dann die restlichen Parameter finden, was ziemlich blöde wäre.

Ich Versuchs ;)

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Kann ich also nicht vorher feststellen wie die linearfaktoren werden ?

Wie meinst Du das? Wüsstest Du sie schon, müsstest Du sie doch gar nicht berechnen? ;)

Sonst muss ich immer eine Nullstelle raten und dann die restlichen Parameter finden, was ziemlich blöde wäre.

Das ist nicht blöde, sondern ausnutzen von Tatsachen^^. Es bedeutet meist deutlich weniger Aufwand eine Nullstelle zu raten und dann eine Polynomdivision durchzuführen, als einen Koeffizientenvergleich obiger Art durchzuführen. Zwar kann man das etwas einfacher gestalten, indem man bspw Deinen Zwischenschritt geht, aber Arbeitsaufwand dürfte dennoch noch recht hoch sein.

Hinweis: Zum Raten von Nullstellen geht man auch nicht "blöde" ran, sondern mit dem Wissen, dass bei einem Polynom mit dem Vorfaktor von ±1 bei der höchsten Potenz, die ganzrationale Nullstelle ein Teiler des Absolutgliedes sein muss.

Bei uns ist das Absolutglied ja 15. Teiler muss also ±1, ±3, ±5 und/oder ±15 sein, sollten sie ganzzahlig sein. Das spart Arbeit!^^

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Du hast recht, aber ich liebe es andere Wege zu gehen ^^.

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Andere Wege gehen zu wollen ist oft sinnvoll, da sie das Verständnis fördern. Aber in der Schule werden meist die "einfachsten" oder zumindest "eingängigsten" Wege gezeigt. Wege die meist immer funktionieren (gut, bei der Polynomdivision werden die Aufgaben extra so gebastelt, dass es nur ganzzahlige Nullstellen gibt).

Wenn ich es recht überblicke ist der Weg über den Koeffizientenvergleich zwar eine Alternative, aber eine recht aufwändige, meiner Einschätzung nach eine nicht empfehlenswerte ;).

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Du hast recht. Ich werde mich aber auf beides fokussieren. Ein Ass mal im Ärmel zu haben schadet nie.

Danke nochmal.

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Gerne,

ich bin aber nun im Bett. Falls noch was wäre, dann antworte ich wohl eher morgen.

Gute Nacht :)

Answer 2

errate eine Nullstelle z.b x=1.

Dann kannst du den Ansatz

$$ -x^4 + x^3 + 19x^2 + 11x -30=(x-1)(-x^3+Ax^2+Bx+C)  $$

machen und mithilfe von Koeffizientenvergleich auflösen.

Comments

Und damit bin ich vor solchen Überraschungen geschützt ? Genial, das werde ich versuchen. Danke.

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Im Zusammenhang mit deinem Kommentar unter meiner Antwort erhebt sich natürlich die Frage, was der Fragesteller tun soll, wenn er keine Nullstelle erraten kann, weil das ja nun einmal nur in Ausnahmefällen möglich ist :-)

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Das habe ich bereits in seinen anderen Fragen zur Faktorisierung hinreichend erörtert, war daher hier nicht notwendig.

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Diese geniale  andere Stelle  würde ich - sofern es sich nicht wieder um Sonderfälle  handelt - sehr gerne kennenlernen :-)

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Dazu gibt es eine Suchfunktion im Forum.

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Ich fürchte, diese wird eine solche Stelle ( keine Sonderfälle! ) kaum finden.

Es sei denn, es handelt sich um Näherungsverfahren oder die Formeln von Ferrari.

Answer 3

Hallo IA,

P(x)  =  -x⁴ + x³ + 19x² + 11x - 30

Der Term hat z.B. die Nullstelle 1

Durch Polynumdivision duch x-1

( - x^4  + x^3  + 19x^2  + 11x  - 30) : (x - 1)  =  -x^3 + 19x + 30  

  - x^4  + x^3                      

 ———————————————————————————————————

                  19x^2  + 11x  - 30

                  19x^2  - 19x      

                  ——————————————————

                           30x  - 30

                           30x  - 30

                           —————————

                                   0

Hat man  P(x) = (x-1) * ( -x^3 + 19x + 30 )

mit der Nullstelle x = -2 des Restpolynoms erhält 

( - x^3          + 19x  + 30) : (x + 2)  =  -x^2 + 2x + 15  

  - x^3  - 2x^2             

 ———————————————————————————

           2x^2  + 19x  + 30

           2x^2  +  4x      

           —————————————————

                   15x  + 30

                   15x  + 30

                   —————————

                           0

also P(x) = ( x -1 ) * (x + 2) *  (-x^2 + 2x + 15)  =  - ( x -1 ) * (x + 2) * (x^2 - 2x - 15)

Und dann mit der p-q-Formel

P(x)  =  - (x - 1) · (x + 2) · (x + 3) · (x - 5)

Gruß Wolfgang

 

Comments

Vielen Dank, aber die Polynomdivision kannte ich schon. Es ging um den alternativen Weg über den Koeffizientenvergleich. Tut mir leid wenn ich jetzt Umstände gemacht habe.

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 (x-a) * (-x³ + bx² +cx + d)

     =  - x^4 + x^3·(a + b) + x^2·(c - a·b) + x·(d - a·c) - a·d

     =  - x^4 + x^3 + 19·x^2 + 11·x - 30

Also  mit Koeffitientenvergleich:

a+b = 1  und  c - a·b = 19  und d - a·c = 11 und - ad = - 30

Diese lästige Gleichungssystem hat die 4 (Rechner-) Lösungen

(a = 5 ∧ b = -4 ∧ c = -1 ∧ d = 6)

∨ (a = -3 ∧ b = 4 ∧ c = 7 ∧ d = -10)

∨ (a = -2 ∧ b = 3 ∧ c = 13 ∧ d = -15)

 ∨ (a = 1 ∧ b = 0 ∧ c = 19 ∧ d = 30)

weil man natürlich jeden der Linearfaktoren ausklammern kann und dann einen anderen                 x³ - Term erhält.

Du kannst natürlich ggf. eine beliebige Nullstelle z.B. x = 1 durch Probieren finden, diese gleich a setzen und dann die restlichen Variablen mit Koeffizentenvergleich ausrechnen.

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Für den Fragesteller ist dann wohl eher interessant , wie er das lästige Gleichungssystem per Hand lösen kann, ansonsten kann er sich ja gleich die Faktorisierung  mit einem Rechner  anzeigen lassen ;) 

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Für neue Sachen ist mir mehr Arbeit Wert :-).

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Habe ich gerade ergänzt :-)

z.B. kann er die Nullstelle a = 1 raten und dann - genau wie bei dir - das einfache Gleichungssystem mit drei Unbekannten lösen.

Nachtrag:

Meine Antwort ist also lediglich etwas umfassender als deine.

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Nur so am Rande: Um ein Polynom, das bereits über Z in verschiedene Linearfaktoren zerfällt, entsprechend zu zerlegen, benötigt man keine Polynomdivision und keine pq-Formel.

Answer 4

-x⁴ + x³ + 19x² + 11x - 30 =

-x^4 + x^3 - 11x^2 + 30x^2 + 11x - 30 =

-x^4 + x^3 - 11x^2 + 11x + 30x^2 - 30 =

( -x^4 + x^3 ) + ( -11x^2 + 11x ) + ( 30x^2 - 30 ) =

-x^3 * ( x - 1 )  - 11x * ( x - 1 ) + 30 * ( x + 1 ) * ( x - 1) =

( -x^3 - 11x + 30 * ( x + 1 ) ) * ( x - 1) =

( -x^3 + 19x + 30 ) * ( x - 1).

Comments

Danke, aber sowas verstehe ich leider nicht, deswegen bin ich auf dem Koeffizientenvergleich gegangen.