Ganz grundsätzlich: Funktionsschar - Parameter a so wählen, damit Wendepunkt.

Question

Wie muss a gewählt werden, damit ich einen Wendepunkt erhalte?
Ich frage ganz generell und benutze die Erklärung von Daniel Jung

Video: https://www.youtube.com/watch?v=k48OjYFNYRk


Rechnung
f_(a)(x)= 1/3x^{3} - 2ax^{2}

Wendepunkt: f''(x) = 0 v f'''(x) ≠ 0 

Also leite ich obige Funktionsschar nach x ab bis f'''(x) und behandle die a als eine Zahl. 

Ich erhalte dann:

f''_(x) = 2x - 4a
f'''(x) = 2

Dann setze ich 
f''_(x) = 0 und löse nach a auf, weil es heisst wie muss a gewählt werden, oder?

0 = 2x - 4a ⇒ a = 1/2x

Lösung
Antwort, damit die Funktionsschar einen Wendepunkt hat, muss a = 1/2x gewählt werden. 

Frage
Der Daniel löst aber nach x auf anstelle nach a, das verwirrt mich, was ist nun korrekt ?

Answer 1

ihr beantwortet zwei unterschiedliche Fragen. Der Typ im Video such die Wendestelle der Funktion, deshalb löst er am Ende nach x. Die Wendestelle 

xw ist dann von a abhängig.

Du hast untersucht, für welche a die Funktion überhaupt  eine Wendestelle besitzt. Deshalb löst du nach a auf.

Du kommst auf die Lösung a=1/2x 

An x sind keine Einschränkungen gemacht, daher: es existiert für jedes a eine Wendestelle!

Das Beispiel ist in dieser Hinsicht nicht sehr konstruktiv, da ein Polynom dritten Grades immer eine Wendestelle besitzt.

(Deshalb hat der Typ auch diese Funktion ausgewählt :) )

Bei anderen Funktionsscharen  ist eine solche Betrachtung jedoch sinnvoll!

Comments

Genau, bin ich, meiner Frage entsprechend also richtig vorgegangen ? :)

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Yup, dein Vorgehen ist richtig :)

Answer 2

Die Frage lautet: 

" Wie muss a gewählt werden, dass f_a(x)= 1/3x³ - 2ax²  einen Wendepunkt hat ? " ?

Kennst du ein Polynom 3. Grades ohne Wendepunkt? 

Das gibt es nicht. 

Mit 

f''_x = 2x - 4a 

f'''(x) = 2 > 0

Hast du bereits gezeigt, dass es immer einen Wendenpunkt gibt, egal was a konkret ist. Grund: a kommt in der Ungleichung gar nicht mehr vor. 

Wenn man nun noch die 2. Ableitung Null setzt, kann man die Koordinaten des Wendepunktes (in Abhängigkeit von a ausrechnen). Da löst man dann normalerweise nach x auf und bestimmt auch noch das zugehörige y.