Wie müssen Parameter a und b gewählt werden damit f auf ganz R differenzierbar ist?

Question

\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x^{2}+2 x+a & , x<3 \\ 2 x^{3}+b x^{2}-5 x-5 & , x \geq 3\end{array}\right. \)

Wie müssen Parameter a und b gewählt werden damit f auf ganz R differenzierbar ist?

(Ergebnis auf 3 Nachkommastellen)

Mein Ansatz bisher war es die Funktionen und deren Ableitung auf x -> 0  zu prüfen.

So habe ich es in ähnlichen Aufgaben gesehen. Bloß, was sagt mir das.

Bei

f1(x) lim x -> 0 = a

f2(x) lim x -> 0 = -5

f1'(x) lim x -> 0 = 2

f2'(x) lim x -> 0 = -5

Weiter komme ich nicht.

Answer 1

\(f_<(x) \coloneqq 2 x^{2}+2 x+a\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar wegen Faktorregel, Summenregel und weil Potenzfunktionen und konstante Funktionen differenzierbar sind. Oder kurz gesagt weil ganzrationale Funktionen auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar sind.

Insbesondere ist \(f_<(x)\) für alle \(x < 3\) differenzierbar.

\(f_>(x) \coloneqq 2 x^{3}+b x^{2}-5 x-5\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar weil ganzrationale Funktionen auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar sind.

Insbesondere ist \(f_>(x) \) für alle \(x > 3\) differenzierbar.

Also ist \(f(x)\) für alle \(x<3\) und für alle \(x > 3\) differenzierbar.

Es bleibt noch zu prüfen, ob \(f(x)\) auch an der Stelle \(x = 3\) differenzierbar ist.

\(f(x)\) ist an der Stelle \(x = 3\) differenzierbar, wenn der Differenzenquotient

        \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\)

einen Grenzwert für \(h\to 0\) hat (laut Definition der Differenzierbnarkeit).

Der Grenzwert existiert, wenn linksseitiger und rechtseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen (da gibt es einen Satz, der das besagt).

Linksseitiger Grenzwert ist \(f_<'(3)\), rechtsseitiger ist \(f_>'(3)\); weil ganzrationale Funktionen auf ganz \(\mathbb{R}\) differenzierbar sind.

\(f(x)\) ist also bei \(x = 3\) differenzierbar, wenn

        \(f_<'(3) = f_>'(3)\)

ist.

Comments

Erstmal danke für die Antwort. Ich habe da gerade ganz viele Fachbegriffe gelesen die mir aber nicht weiterhelfen. Das einzige was ich glaube verstanden zu haben ist f1'(3)=f2'(3)

Da kommt b = -35 raus. Setze ich das in f1(3)=f2(3) ein habe ich a = -305

Das Ergebnis scheint aber falsch zu sein...

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f1'(3)=f2'(3)

Um diese Gleichung geht es.

Ich habe allerdings \(b = -\frac{35}{6}\) als Lösung.

Setze ich das in f1(3)=f2(3) ein

Da hast du mich erwischt. Natürlich muss diese Gleichung auch gelten. Das hatte ich vergessen.

Schau mal nach, wo du bei f1'(3)=f2'(3) den Fehler gamacht hast. Mit dem richtigen \(b\) wirst du dann mit f1(3)=f2(3) auch auf das richtige \(a\)  kommen.

viele Fachbegriffe gelesen die mir aber nicht weiterhelfen.

Welche sind das konkret? Wenn man so eine Aufgabe gestellt bekommt, dann sollten die Fachbegriffe, die ich verwendet habe, eigentlich schon besprochen worden sein.