Vektoren, Schnittwinkel zweier Vektoren, zweier Geraden und Rechtwinkligkeit eines Dreiecks

Question

Meddl Loide, folgende drei Aufgaben habe ich wie folgt berechnet, doch habe Zweifel ob die Ergebnisse auch stimmen. Es wäre sehr schön wenn jemand die Ergebnisse kurz prüfen könnte!

1. Bestimme den Schnittwinkel beider Vektoren

(2/1/3) * (1/-4/1)

Skalarprodukt a* b = 1

|a| = √14

|b| = 3√2

cos -1 = (1) / √14 * 3√2 = 86.39°

2. Prüfe ob ein Dreieck mit den Eckpunkten A(2/3/1), B(6/5/3) und C(4/12/3) rechtwinklig ist

|AB| = √21

|BC| = 2√17

|CA| = √89

Skalarprodukt AB * AC = -13

Skalarprodukt BC * AB = -16

cos(a)-1 = 13 / (√21 * √89) = 72,5°

cos(B)-1 = 16 / (2√17 * √21)= 64,95°

cos (g) = 180° - 72,5° - 64.95° = 42,55°

Das Dreieck ist nicht rechtwinklig, weil es keinen 90° Winkel besitzt.

3.Bestimme den Schnittwinkel beider Geraden

g:x = (1/1/0) +r * (1/0/3)   und h:x = (2/2/3) + s * (1/-1/3)

Skalarprodukt: r * s = 10

|r| = √10

|s| = √11

cos(a)-1 = 10 / (√10 * √11) = 17,54°

Ich danke jedem der kurz die Ergebnisse prüfen kann und mir Fehler aufzeigt.

MfG

Venim

Comments

                                                                                 

Answer 1

Moin Venim

1.
a = (2/1/3)
b = (1/-4/1)
a*b = (2/1/3) * (1/-4/1) = 1 ✓
∠(a,b) = 86.39° ✓

2.
AB = B - A = (6,5,3) - (2,3,1) = (4,2,2). |AB| = 2√6.
CA = A - C = (2,3,1) - (4,12,3) = (-2, -9, -2). |CA| = √89.
BC = C - B = (4,12,3) - (6,5,3) = (-2, 7, 0). |BC| = √53.
Die Beträge der Vektoren habe ich für die Überprüfung Deiner Rechnung aufgeschrieben, für die Aufgabe an sich sind sie nicht erforderlich, weil zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, wenn ihr Skalarprodukt Null ist(cos(90°)=0).

AB*CA = (4,2,2)*(-2, -9, -2) = -30 ≠ 0. AB steht nicht senkrecht auf CA.
AB*BC = (4,2,2)*(-2, 7, 0) = 6 ≠ 0. AB steht nicht senkrecht auf BC.
CA*BC = (-2, -9, -2)*(-2, 7, 0) = -59 ≠ 0. CA steht nicht senkrecht auf BC.
Das gegebene Dreieck ist also nicht rechtwinklig.

3.
Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren(nicht der Parameter r,s) ist (1,0,3)*(1,-1,3) = 10. ✓
Der Betrag des Richtungsvektors (1,0,3) ist √10. ✓
Der Betrag des Richtungsvektors (1,-1,3) ist √11. ✓

α = acos(10/(√10√11) = 17.55°.

Beste Grüße
gorgar