Bestimmen von Funktionsgleichung einer Funktion 3. Grades

Question

Ich weiß, dass ich für jede der Variablen irgendeine Bedingung aufstellen muss. Das bekomme ich aber quasi gar nicht hin. Ich hoffe eine Lösung hilft mir beim Verständnis... Am besten erstmal für 4 und 5a/b, die anderen sollten mit Verständnis dann funktionieren.

Answer 1

Allgemeiner Ansatz

f(x) = ax^3 + bx^2+ cx + d

Bedingungen und Gleichungen

f(-2) = 10 --> - 8·a + 4·b - 2·c + d = 10

f'(-2) = 0 --> 12·a - 4·b + c = 0

f(0) = 0 --> d = 0

f'(1) = 0 -->

Man löst das entstehende Gleichungssytem und erhält:

a = 1 ∧ b = 1.5 ∧ c = -6 ∧ d = 0

Also lautet die Funkiton

f(x) = x^3 + 1.5x^2- 6x

Das sollte man jetzt nochmal prüfen. Das darfst du übernehmen.

Comments

Bei 5. a) und b) mache ich nur die Ansätze. Der allgemeine Ansatz ist gleich

5. a)

f(0) = 0
f(2) = 4
f'(2) = -3
f''(2) = 0

5. b)

f(0) = 0
f''(0) = 0
f(3) = 2
f'(3) = 0

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Ich kriege das selbe raus.

4) y=ax³+bx²+cx+d

f(0)=0 => d=0

f'(x)=3ax²+2bx+c

f'(0)=-6=c

f(-2)=-8a+4b-6*(-2)=10

I: -8a+4b=-2

f'(-2)=0=12a-4b-6

II: 12a-4b=6

I+II

4a=4

a=1

Einsetzen in I:

4b=-2+8a

b=-0,5+2a=-0,5+2*1=1,5

y=x³+1,5x²-6x

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Prima. Dann probierst du jetzt 5. Ähnlich und machst da die Probe.

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Ich denke heute nicht mehr.

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Wie kommt man denn bitte von diesen einzelnen Bedingungen auf die fertigen Werte für a, b, c und d? Wird für mich nicht ersichtlich.

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Du wendest das gleiche Prinzip was mathecoach und ich für aufg. 4 vorgerechnet haben jetzt auf Aufgabe 5 an. Versuche hierfür die Lösung von Aufgabe 4 nachzuvollziehen.

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Gerne, wenn ich verstehen würde was da passiert. Sehe da keinerlei Bezug zu den Variablen a, b, c und d. Diese sind plötzlich einfach da ohne Erklärung.

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Ganz so ist es nicht. Mathecoach schreibt zu beginn, die allgemeine Form einer polynomfunktion 3. Ordnung lautet

y=ax^3+bx^2+cx+d.

Da tauchen die koeffizienten a-d auf. Dann muss man durch das aufstellen geeigneter Bedingungen die man aus der Beschreibung der Funktion entnimmt, ein gleichungssystem zum bestimmen der koeffizienten aufstellen.

Answer 2

Die Aussagen sind

Funktion 3.Grades
f ( x ) = ax³ + bx²+ cx + d

f ( -2 ) = 10 Koordinaten
f ´ ( -2 ) = 0 Hochpunkt mit Steigung 0
f ( 0 ) = 0 Koordinaten
f ( 0 ) =  - 6 Steigung

Berechnungen
1.Ableitung
f ´( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c

Gerne, wenn ich verstehen würde was da
passiert. Sehe da keinerlei Bezug zu den
Variablen a, b, c und d. Diese sind plötzlich einfach da ohne Erklärung.

Einsetzung der Aussagen
f ( -2 ) =  a(-2)³ + b(-2)²+ c(-2) + d
f ( -2 ) = -8a + 4b -2c + d = 10
f ´( -2 ) = 3a * (-2)^2 + 2b * (-2) + c = 0
f ´( -2 ) = 12a  - 4b  + c = 0
f ( 0 ) = a*0³ + b*0²+ c*0 + d = 0
f ( 0 ) = d = 0
f ´( 0 ) = 3*a * 0^2 + 2b * 0 + c = - 6
f ´( 0 ) = c = -6

-8a + 4b -2c + d = 10
12a  - 4b  + c = 0
d = 0
c = - 6

Dies lineare Gleichungssystem lösen ergibt

f(x) = x^3 + 1,5·x^2 - 6·x

Comments

Ich glaube mein Problem ist, dass ich kein linerares Gleichungssystem lösen kann, weil ich das ewig nicht mehr gemacht habe. Könnte das eventuell an diesem Beispiel hier einmal durchgeführt werden bitte?

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-8a + 4b -2c + d = 10
12a  - 4b  + c = 0
d = 0
c = - 6

daraus folgt  ( c + d einsetzen )

-8a + 4b -2*(-6) + 0 = 10
12a  - 4b  + (-6) = 0

-8a + 4b = -2
12a  - 4b  = 6   | Gleichungen addieren
-----------------
-8a + 12a + 4b - 4b = 4

4a = 4
a = 1

-8*(1) + 4b = -2
b = 1.5

f(x) = x³ + 1,5·x² - 6·x