Gleichung der Ebene und Abstand der Ebene zum Nullpunkt (Würfel im 1. Oktanten)

Question

Ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Danke.

Gegeben sei ein Würfel der Kantenlänge a (a > 0 geeignet) im 1. Oktanten, dessen eine Ecke im Koordinatenursprung liegt und dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

(i) Wie heißt die Gleichung der Ebene durch den Würfeleckpunkt P: = < a, a, a > , die auf der durch P gehenden Raumdiagonalen senkrecht steht?

(ii) Welchen Abstand hat die durch die Mittelpunkte der Kanten
- von P1: = < 0, 0, a > nach Q1: = < a, 0, a >
- von P2: = < a, 0, 0 > nach Q2: = < a, 0, a >
- von P3: = < a, 0, a > nach Q3: = < a, a, a >
gelegte Ebene vom Nullpunkt?

Answer 1

i)

Vektor der Raumdiagonale ist der Normalenvektor n = [a, a, a]

X * [a, a, a] = [a, a, a] * [a, a, a]
ax + ay + az = 3a^2
x + y + z = 3a

ii)

Mittelpunkte 

M1 = [a/2, 0, a]
M2 = [a, 0, a/2]
M3 = [a, a/2, a]

M1M2 = [a/2, 0, -a/2]
M1M3 = [a/2, a/2, 0]

n = M1M2 x M1M3 = [a/2, 0, -a/2] x [a/2, a/2, 0] = [a^2/4, - a^2/4, a^2/4]

X * [a^2/4, -a^2/4, a^2/4] = [a/2, 0, a] * [a^2/4, - a^2/4, a^2/4]
a^2/4*x - a^2/4*y + a^2/4*z = 3·a^3/8
2x - 2y + 2z = 3a

Abstandsform wäre hier

d = (2x - 2y + 2z - 3a) / √(2^2 + 2^2 + 2^2) = √3/3·x - √3/3·y + √3/3·z - √3/2·a

Für x, y, z = 0

d = -√3/2·a

Der Abstand beträgt also √3/2·a vom Koordinatenursprung.

Bitte kontrolliere die Rechnungen mal. Man macht so unglaublich leicht Schreib- oder Rechenfehler.