Volumen eines Spates, Ebene mit Nullpunkt ebene herausfinden

Question

Guten Morgen=) ,

Ich hätte ein paar fragen zu folgender Aufgabe:

Aufgabe

Gegeben sei der Spat V(t), der durch die folgenden Vektoren aufgespannt wird: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\-t\\-1-t \end{pmatrix} \)             \( \vec{b} \) = \( \begin{pmatrix} -7\\-1\\0 \end{pmatrix} \)   \( \vec{c} \) = \( \begin{pmatrix} 2t-8\\2-2t\\2t \end{pmatrix} \)

hierzu soll ich

a) das Volumen des Spates berechnen

und b) herausfinden für welche t liegen \( \vec{a} \)  \( \vec{b} \)  \( \vec{c} \) in einer Ebene, die den Nullpunkt enthält ?
Problem/Ansatz:

also bei a habe ich als Ergebnis D = 12 -4t -30t²  raus, sprich das Volumen wäre ja der Betrag hiervon, Jetzt ist meine Frage wie ich mit dem Betrag umgehen muss da ich ja Unbekannte dabei habe.

zu b) mit ist hierbei nicht wirklich klar wie genau ich hier vorgehen muss.

Über Tipps wäre ich echt dankbar

Answer 1

a) Das Spatprodukt ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt der Vektoren \( \vec{a} \) , \( \vec{b} \) und dem dritten Vektor \( \vec{c} \) . Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats. Das Vorzeichen ist positiv, falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden; bilden sie ein Linkssystem, so ist es negativ.

Answer 2

Aloha :)

a) Ich bekomme ein leicht anderes Volumen heraus:$$V=\left|-30t^2+8t+22\right|$$Lass das als Ergebnis einfach so stehen, mehr kannst du ja nicht tun, solange du keinen konkreten Wert für \(t\) hast.

b) Die 3 Vektoren liegen in einer Ebene, wenn das Volumen \(=0\) ist. Mit der abc-Formel findet man die Nullstellen des Volumens \(V\) bei:$$t=1\quad;\quad t=-\frac{11}{15}$$Jetzt musst du nur noch prüfen, für welchen dieser beiden \(t\)-Werte die resultierende Ebene den Nullpunkt enthält.