Aufgabe:
Ich betrachte die linaeare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung
\(u'(t)+a(t)\cdot u(t)=b(t)\).
Ich versuche zu zeigen, dass diese DGL durch $$ u(t)=\underbrace{\exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c}_{=f(t)}+\underbrace{\int_{t_0}^t \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ ds}_{=g(t)} \ ,\quad c\in \mathbb{R} $$
gelöst wird.
Problem/Ansatz:
Zunächst ist:
\(f'(t)=\frac {d}{dt}\left(\exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c \right)\\=-c\cdot a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\\[20pt]g'(t)=\frac{d}{dt}\left(\int_{t_0}^t \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ ds\right)\\=\int_{t_0}^t \frac{d}{dt}\left(\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ \right)ds\\=\int_{t_0}^t \left[\frac{d}{dt}\left(\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\right)\cdot b(s)+\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b'(t)\ \right]ds\\=\int_{t_0}^t \left[-a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right)\cdot b(s)+\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b'(t)\ \right]ds \\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot \int_{t_0}^t (-a(t)\cdot b(s)+b'(t))\ ds\\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot\left(b(t)-a(t)\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\right)\\[20pt]a(t)\cdot u(t)\\=a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c+a(t)\cdot \int_{t_0}^t \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ ds\\=a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c+a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\\[20pt]u'(t)+a(t)\cdot u(t)\\=f'(t)+g'(t)+a(t)\cdot u(t)\\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot\left(b(t)-a(t)\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\right)\\\quad +a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(t) \)
Was habe ich hier übersehen?
