Differentialgleichung Identität zeigen

Question

Aufgabe:

Ich betrachte die linaeare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

$u'(t)+a(t)\cdot u(t)=b(t)$.

Ich versuche zu zeigen, dass diese DGL durch $$u(t)=\underbrace{\exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c}_{=f(t)}+\underbrace{\int_{t_0}^t \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ ds}_{=g(t)} \ ,\quad c\in \mathbb{R}$$

gelöst wird.

Problem/Ansatz:

Zunächst ist:

$f'(t)=\frac {d}{dt}\left(\exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c \right)\\=-c\cdot a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\\[20pt]g'(t)=\frac{d}{dt}\left(\int_{t_0}^t \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ ds\right)\\=\int_{t_0}^t \frac{d}{dt}\left(\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ \right)ds\\=\int_{t_0}^t \left[\frac{d}{dt}\left(\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\right)\cdot b(s)+\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b'(t)\ \right]ds\\=\int_{t_0}^t \left[-a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right)\cdot b(s)+\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b'(t)\ \right]ds \\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot \int_{t_0}^t (-a(t)\cdot b(s)+b'(t))\ ds\\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot\left(b(t)-a(t)\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\right)\\[20pt]a(t)\cdot u(t)\\=a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c+a(t)\cdot \int_{t_0}^t \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(s)\ ds\\=a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(s)\ ds\right )\cdot c+a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\\[20pt]u'(t)+a(t)\cdot u(t)\\=f'(t)+g'(t)+a(t)\cdot u(t)\\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot\left(b(t)-a(t)\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\right)\\\quad +a(t)\cdot \exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot \int_{t_0}^t b(s)\ ds\\=\exp \left( -\int_{t_0}^t a(r)\ dr\right )\cdot b(t)$

Was habe ich hier übersehen?

Comments

Hallo,

zunächst mal ist die Lösungsformel falsch, sie stimmt jedenfalls nicht mit der in meinem Buch oder einer im WEB Überein.

Zum zweiten hast Du ohnehin Fehler beim Differenzieren gemacht. Informiere Dich über Regeln für die Differentiation von Paramterintegralen.

Gruß