Differentialgleichung: Zeigen Sie, dass y1 = x eine Lösung ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die ODE
x²y′′−xy′+y=0, x>0.

a)Klassifizieren Sie die ODE.
b) Zeigen Sie, dass y1 = x eine Lösung ist.
c) Bestimmen Sie eine 2. Lösung durch Variation der Konstanten und damit die allgemeine Lösung.

Comments

Du könntest doch y(x)=x in die Differentialgleichung einsetzen und checken, ob das Ergebnis 0 ist?

Answer 1

Hallo,

a) gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

b)

y1=x

y1'=1

y1''=0 ->in die DGL einsetzen

--------->

x^2 y′′−xy′+y=0,

0- x*1+x=0

0=0

c)

y1=x

y= μ *x

y' = μ' *x + μ

y'' = μ'' *x + 2μ'

-------->in die DGL einsetzen:

x^2 y′′−xy′+y=0

x^2(μ'' *x + 2μ') -x(μ' *x + μ) +μ *x =0

x^3 *μ''+ 2μ' x^2 -μ' *x^2 - μx +μ *x =0

x^3 *μ''+ μ' x^2  =0

setze:

w=μ'

w'=μ''

x^3 * w'+ w *x^2  =0 Trennung der Variablen | : x^2 ≠0

x * w'+ w =0

w'=dw/dx

x * dw/dx +w=0 | -w

x * dw/dx = -w |*dx

x* dw= -w dx

dw/w= -dx/x

μ'= w= C₁/x

μ =C₁ ln|x| +C₂

y=μ *x

y= C₁*x ln|x| +C₂ *x

Comments

Ich habe irgendwie Probleme nach Trennung der Variablen auf die nächste Zeile zu kommen, wenn ich w’ als d/dw anschreibe durch x^2 dividiere bekomme ich folgendes: dx=-w * dw

---

habe Antwort ergänzt ->siehe oben