Lösen und skizzieren der Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Für die Auslenkung y(t) zum Zeitpunkt t eines Körpers mit Masse M auf einer Feder mit Federkonstante k und konstanter Reibungskraft R gilt die folgende Gleichung:
My′′(t) = −ky(t) − R.
a) Klassifizieren Sie die Differentialgleichung.
b) Lösen Sie die Differentialgleichung, wenn die Reibungskraft 0 ist und die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y′(0) = 0 gegeben sind.
c) Skizzieren Sie die Lösung auf dem Intervall [0, 10] für k/M = 1 und k/M = 4.

Answer 1

Hallo,

a) lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

b) My′′(t) = −ky(t)

Ansatz: y= e^(λt) , 2Mal ableiten und in die DGL einsetzen

--->charakteristische Gleichung:

My′′(t) +ky(t) =0

M λ^2 +k =0

λ1,2 =± √(-k/M)

λ1,2 =± i √(k/M)

\( y(t)=c_{1} \cos \left(\sqrt{\frac{k}{M}} t\right)+c_{2} \sin \left(\sqrt{\frac{k}{M}} t\right) \)

y'(t)=\( -\sqrt{\frac{k}{M}} c_{1} \sin \left(\sqrt{\frac{k}{M}} t\right)+\sqrt{\frac{k}{M}} c_{2} \cos \left(\sqrt{\frac{k}{M}} t\right) \)

Anfangsbedingungen y(0) = 1, y′(0) = 0

--------->

C₁=1

C₂=0

-------->Lösung:

\( y(t)=\cos \left(\sqrt{\frac{k}{M}} t\right) \)