AWP lösen und skizzieren x'(t) = Ax(t), t≥0. A:=((-1,0),(1,-a))

Question

könnte mir jemand erklärend folgende Aufgaben vorrechnen? Dankesehr.

(a) Bestimmen Sie die Lösung des AWPs, wenn A nicht diagonalisierbar ist.

(b) Skizzieren Sie beide Komponenten der Lösung des AWPs aus Teilaufgabe (a) in Abhängigkeit von t. Wie verhält sich diese Lösung, wenn t → ∞?

(c) Skizzieren Sie beide Komponenten der Lösung in Abhängigkeit von t für jeweils a = 2 und a = −1. Vergleichen Sie das Verhalten dieser Lösung mit der aus Teilaufgabe

(b), insbesondere wenn t → ∞.

Comments

Tu selber mal was. Fang z.B. damit an, dass Du das System in den Komopnenten x₁ und x₂ ausfuehrlich hinschreibst. Wenn Du das Ergebnis vorzeigst, kann man weitersehen.

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@Meldungen: Fakename gibt euch hier einen Tipp für einen Anfang. Was versteht ihr daran nicht? (Abgesehen von 1. Satz?) 

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Ich weiß, dass A für a=1 nicht diag. ist. Als doppelten Eigenwert habe ich y=1. Als ich versucht habe den dazugehörigen Ev zu berechnen bin ich auf (0,0)^T gekomnen. Weiter weiß ich nicht .. 

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Nur so zum Spass: Kannst Du die erste Gleichung dieses Systems explizit hinschreiben? Die Aufgabe laesst sich komplett ohne lineare Algebra rechnen, s.o. Aber wenn's zu viel Muehe macht ...

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@ Heliin: die Eigenwerte sind bei dieser Aufgabe unwesentlich. Befolge stattdessen die Anweisung von fakename. Der Rest ist eindimensionale Integration.

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Und wie macht man das? 

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Ich lese mal die erste Gleichung ab. x Hat 2 Komponenten x_(1) und x_(2)

x_(1)'(t) = -1 * x_(1)(t) + 0*x_(2)(t)

==> 

x_(1)'(t) = - x_(1)(t) 

Diese kannst du "ganz normal" lösen. Nenne x_(1) einfach mal y, falls dir x_(1) nicht gefällt. 

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Danke die zweite müsste dann 

x₂'(t)=x₁(t)-a*x₂ (t) sein. Und wie fahre ich nun fort?

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Löse die erste Gleichung. Setze das Resultat in der zweiten Gleichung ein und bestimme so auch x_(2)(t), falls dich x_(1) und x_(2) interessieren. 

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Kann man die Aufgabe auch mittels Eigenvektoren lösen ?

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Wenn Du weisst, was man macht, wenn es nur "einen" gibt: ja.

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Ist das bis jetzt richtig ?

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Deine Lösung zu a) ist sicher nicht richtig. Da A nicht diagonalisierbar ist, muss in der Lösung ein Polynomanteil drin sein. Da x₁ = -e^-t klar ist, muss x₂ = p(t)·e^-t sein.

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Und der rest?

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Ich weiss nicht, warum Du hier mit dem Matrixexponential und mit Variablentransformation hantierst. Bei c) gibt es in beiden Faellen je zwei Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) mit Eigenvektoren \(\pmb{c}_1\) und \(\pmb{c}_2\). Die Lösung ist dann von der Form \(\pmb{x}=\kappa_1e^{\lambda_1t}\pmb{c}_1+\kappa_2e^{\lambda_2t}\pmb{c}_2\). Es sind nur noch die Faktoren \(\kappa_1\) und \(\kappa_2\) aus den Anfangswerten zu ermitteln.

Wenn Du testen willst, ob Du richtig gerechnet hast, machst Du einfach die Probe.