Zeigen Sie schrittweise, dass die Funktionen y1(x) = x und y2(x) = \frac{1}{x}

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie schrittweise, dass die Funktionen y₁(x) = x und y₂(x) = \( \frac{1}{x} \)
ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung bilden.
Zeigen Sie zudem, dass das Randwertproblem eindeutig lösbar ist.

Problem/Ansatz:

Randwertproblem:

(xy')' -\( \frac{y}{x} \)  = f(x)
y(a) = 0 , 0 < a < 1
y(1) = 0

Answer 1

Hallo,

y1(x) und y2(x) müssen die Gleichung L(y)=0 erfüllen. Leite dazu die Lösungen ab und setze das Ganze in die DGL ein.

Außerdem müssen y1 und Y2 linear unabhängig sein. Der Nachweis erfolgt mittes Wronsky Determinante.(det W(x)) ≠ 0)

Berechne die Lipschitz - Konstante, wenn diese existiert ,dann gibt es eine eindeutige Lösung, sonst nicht.