Berechnen Sie den Abstand dieses elliptischen Zylinders zum Nullpunkt.

Question

Aufgabe:

Es sei C ⊂ ℝ₃  der Durchschnitt des Kegelmantels

M_k = { x ∈ ℝ : x² + y² = z² }

mit der Mantelflaeche

M_z = { x ∈ ℝ : x² + xy + y² = 1 }

eines elliptischen Zylinders. Berechnen Sie den Abstand von C zum Nullpunkt.

Problem/Ansatz:

… Ich vermute, dass es sich hier um einen Aufgabe mit nebenbedinung handelt aber ich weiss ehrlicher weise nicht genau was hier verlangt wird. Hoffe ihr koennt mir helfen.

Comments

Das problem was ich habe ist, dass ich nicht auf die Lagrange funktion komme. Haette ich diese koennen ich die Aufgabe glaube ich alleine schaffen.

---

Ich denke, dass du die Beschreibungen der Mengen M_k und M_z nicht korrekt  angegeben hast. Dies sollen doch nicht Teilmengen von  ℝ , sondern von ℝ³ sein.

Für die Lösung:  Als Zielgröße nimmt man natürlich das Quadrat Q des Nullpunktsabstandes des Punktes P(x|y|z) , also  Q(x.y,z) := x² + y² + z²

Die beiden (Lagrange-) Nebenbedingungen sind:

(1.)   x² + y² - z² = 0

(2.)    x² + x·y + y² - 1 = 0

---

Nebenbei:

Gesucht ist gar nicht der Abstand des elliptischen Zylinders vom Nullpunkt (wie es in der Überschrift steht), sondern der Abstand der Schnittmenge C vom Nullpunkt !

---

Schau mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator#Mehrere_Nebenbe…

---

Und was waere meine Hauptbedingung also mein f(x,y,z)?

Habe in meiner VL nachgeguckt. Dort hat er auch ein aehnliches Bespiel durchgerechnet.

Also meine Lagrange Funktion lauten

(x,y,z) - λ₁ (x,y,-z) - λ₂ (2x+y, 2y+x, 0)

und da jetzt die kritischen stellen ausrechnen. Also x = 0, y = 0, z = 0 jeweils einzeln ueberpruefen.

Am ende habe ich als einzige kritische stelle (0,0,0) raus.

---

Hallo

beim ges fehlt eine 2, und zusätzlich hast du doch die Nebenbedingungen  oder dL/dλ=0

da kommt nicht x=y=z=0 raus.  das erfüllt z.b die 3 te Nebenbedingung nicht.

Aber mein Verfahren ist doch viel einfacher, und die Ellipse sicher absichtlich so einfach.

meine Werte sollten natürlich auch das richtige L erfüllen.

lul

Answer 1

Aloha :)

Der Abstand ist die kürzeste Enfernung vom Nullpunkt zu einem Punkt $(x|y)\in C$. Anstatt den Abstand zu minimieren, minimieren wir das Quadrat, um uns die Wurzel zu sparen:$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\to\text{Minimum!}$$Wir haben allerdings 2 Nebenbedingungen zu beachten, die uns dadurch aufgebürdet werden, dass $(x|y)\in C$ sein muss:$$g_1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0\quad;\quad g_2(x,y)=x^2+xy+y^2-1=0$$

Schreiben wir die Gradienten aller dieser drei Funktionen (als Zeilen oder Spalten) in eine Determinante, muss diese Determinante gemäß des Lagrange-Formalismus verschwinden (das spart uns die Fummelei mit den Lagrange-Multiplikatoren):$$0\stackrel{!}{=}\operatorname{det}\begin{pmatrix}2x & 2y & 2z\\2x & 2y & -2z\\2x+y & x+2y & 0\end{pmatrix}=\operatorname{det}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4z\\2x & 2y & -2z\\y & x & 2z\end{pmatrix}=4z(2x^2-2y^2)$$$$\Leftrightarrow\quad z(x-y)(x+y)=0$$Daraus erhalten wir drei kritische Stellen: $z=0\;;\;y=x\;;\;y=-x$.

Wir testen, ob es sich um Extrema handelt:

1. Fall $z=0$

Aus der Randbedingung $g_1$ folgt $x^2+y^2=0$ bzw. $x=y=0$. Jedoch ist für $x=y=0$ die zweite Randbedingung $g_2$ nicht erfüllt, denn $g_2(0,0)=-1\ne0$. Also liefert dieser Fall kein Extremum.

2. Fall $y=x$$$0\stackrel{!}{=}g_1(x,x,z)=2x^2-z^2\quad\Rightarrow\quad z^2=2x^2$$$$0\stackrel{!}{=}g_2(x,x)=3x^2-1\quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{1}{3}$$Wir haben also ein Extremum:$$f(x,y,z)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$

3. Fall $y=-x$$$0\stackrel{!}{=}g_1(x,-x,z)=2x^2-z^2\quad\Rightarrow\quad z^2=2x^2$$$$0\stackrel{!}{=}g_2(x,-x)=x^2-1\quad\Rightarrow\quad x^2=1$$Wir haben also ein Extremum:$$f(x,y,z)=1+1+2=4$$

Das Quadrat der Funktion $f$ ist minimal im 2. Fall und es gilt:$$\text{Abstand}=\frac{2}{\sqrt3}$$Die zugehörigen Koordinaten sind:$$x=y=\pm\frac{1}{\sqrt3}\quad;\quad z=\sqrt{\frac{2}{3}}\;\text{oder}\;z=-\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Answer 2

Hallo

geometrisch : die Ellipse x²+y²+xy=1 ist symmetrisch in x und y, deshalb liegen die 2 Achsen auf der Geraden x=y und x=-y

d.h. bei 3x²=1. für x=y und x²=1 für x=-y

bei einer der Achsen die Entfernung zu 0 am kleinsten. also bei x=y=1/√3 z²=x²+y²=2/3 das zweite Min natürlich bei x=y=-1/√3

ob du den Punkt oder den Abstand angeben musst weiss ich nicht.

(was du da als Lagrange ausgibst verstehe ich nicht)

Gruß lul

Comments

Ich hab mir einfach den Wiki Beitrag angegeguckt der für mehreren nebenbedingungen hier reingestellt wurde. Da ich ja im ℝ³ ist der gradiant von f(x,y,z) ja 2*(x,y,z) und dann die beiden Ableitungen halt Also von den beiden nebenbedingung. Oder habe ich das falsch verstanden.