Aloha :)
Der Abstand ist die kürzeste Enfernung vom Nullpunkt zu einem Punkt \((x|y)\in C\). Anstatt den Abstand zu minimieren, minimieren wir das Quadrat, um uns die Wurzel zu sparen:$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\to\text{Minimum!}$$Wir haben allerdings 2 Nebenbedingungen zu beachten, die uns dadurch aufgebürdet werden, dass \((x|y)\in C\) sein muss:$$g_1(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0\quad;\quad g_2(x,y)=x^2+xy+y^2-1=0$$
Schreiben wir die Gradienten aller dieser drei Funktionen (als Zeilen oder Spalten) in eine Determinante, muss diese Determinante gemäß des Lagrange-Formalismus verschwinden (das spart uns die Fummelei mit den Lagrange-Multiplikatoren):$$0\stackrel{!}{=}\operatorname{det}\begin{pmatrix}2x & 2y & 2z\\2x & 2y & -2z\\2x+y & x+2y & 0\end{pmatrix}=\operatorname{det}\begin{pmatrix}0 & 0 & 4z\\2x & 2y & -2z\\y & x & 2z\end{pmatrix}=4z(2x^2-2y^2)$$$$\Leftrightarrow\quad z(x-y)(x+y)=0$$Daraus erhalten wir drei kritische Stellen: \(z=0\;;\;y=x\;;\;y=-x\).
Wir testen, ob es sich um Extrema handelt:
1. Fall \(z=0\)
Aus der Randbedingung \(g_1\) folgt \(x^2+y^2=0\) bzw. \(x=y=0\). Jedoch ist für \(x=y=0\) die zweite Randbedingung \(g_2\) nicht erfüllt, denn \(g_2(0,0)=-1\ne0\). Also liefert dieser Fall kein Extremum.
2. Fall \(y=x\)$$0\stackrel{!}{=}g_1(x,x,z)=2x^2-z^2\quad\Rightarrow\quad z^2=2x^2$$$$0\stackrel{!}{=}g_2(x,x)=3x^2-1\quad\Rightarrow\quad x^2=\frac{1}{3}$$Wir haben also ein Extremum:$$f(x,y,z)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$
3. Fall \(y=-x\)$$0\stackrel{!}{=}g_1(x,-x,z)=2x^2-z^2\quad\Rightarrow\quad z^2=2x^2$$$$0\stackrel{!}{=}g_2(x,-x)=x^2-1\quad\Rightarrow\quad x^2=1$$Wir haben also ein Extremum:$$f(x,y,z)=1+1+2=4$$
Das Quadrat der Funktion \(f\) ist minimal im 2. Fall und es gilt:$$\text{Abstand}=\frac{2}{\sqrt3}$$Die zugehörigen Koordinaten sind:$$x=y=\pm\frac{1}{\sqrt3}\quad;\quad z=\sqrt{\frac{2}{3}}\;\text{oder}\;z=-\sqrt{\frac{2}{3}}$$
