In der Tat, eine allgemeine Lösungsformel gibt es wohl nicht für Gleichungen 5. Grades, die ist allerdings auch gar nicht gesucht. Es soll aber nach der Galois-Theorie eine Lösung bestimmter Gleichungen 5. Grades möglich sein. Mich wuerde einmal ein Beispiel interessieren.
Übrigens gilt folgendes: cos (5phi) = 16 (cos phi)^5 -20 (cos phi)^3 +5 (cos phi)
und 2cosh (5u) = e^{5u} +e^{-5u} = (e^u +e^{-u})^5 -5 (e^u +e^{-u})^3 +5 (e^u +e^{-u})
= (2cosh(1u))^5 -5 (2cosh(1u))^3 +5 (2cosh(1u))
Das heißt, wenn eine Gleichung in der Form x^5 -5 x^3 +5 x +q = 0 (q beliebig reell) vorliegt oder auch allgemeiner in der Form x^5 -5 k x^3 +5 k^2 x +q = 0 (k beliebige positiv reell, q beliebig reell) vorliegt, dann ließe sich diese prima lösen:
x1 = 2 *(k)^{1/2} * cos (1phi)
mit -2 * (k)^{5/2} * cos (5phi) = q, also
bzw.
x1 = 2 *(k)^{1/2} *cosh (1u)
mit -2*(k)^{5/2} * cosh (5u) = q
x1 = 2 * (k)^{1/2} * cos ( 1/5 acos (-q/2/(k)^{5/2}) ) falls |-q/2/(k^{5/2})| <= 1
bzw
x1 = 2 * (k)^{1/2} * cosh ( 1/5 acosh (-q/2/(k)^{5/2}) ) falls |-q/2/(k^{5/2})| > 1 und q < 0
Falls q > 0 , so gilt, das x1 negativ ist:
x1 = -2 * (k)^{1/2} * cosh ( 1/5 acosh (+q/2/(k)^{5/2}) ) falls |cos (5phi)| > 1 und q > 0
Da zudem gilt
2*sinh (5u) = e^{5u} -e^{-5u} = (e^u -e^{-u})^5 +5 (e^u -e^{-u})^3 +5 (e^u -e^{-u})
= (e^{5u} -e^{-5u} -5(e^{3u} -e^{-3u}) +10(e^u -e^{-u})
+ 5 ( e^{3u} -e^{-3u} -3(e^u -e^{-u}) )
+5(e^u -e^{-u})
kann eine Gleichung der Form x^5 +5 x^3 +5 x +q = 0 (q beliebig reell) oder allgemeiner in der Form
x^5 +5 k x^3 +5 k^2 x +q = 0 (k beliebig positiv reell, q beliebig reell) ebenfalls gelöst werden:
x1 = 2 * (k)^{1/2} * sinh (1u) mit -2 * (k)^{5/2} * sinh (5u) = q, also
x1 = 2 * (k)^{1/2} * sinh ( 1/5 arsinh (-q/2/(k^{5/2}) )
