Warum wird hier die e-Funktion durch den Cosinus ersetzt?

Question

  ich möchte gerne wissen, warum hier e^{-j2Pift} durch cos(2Pift) ersetzt wird. (j ist hier die imaginäre Zahl, die in der Mathematik als i bezeichnet wird!)

Laut der Eulerschen Gleichung müsste doch gelten: cos(2Pift)=1/2*(e^{j2Pift}+e^{-j2Pift})

Comments

Hallo

e^{-j2πft} = cos(2πft) - j(2πft)

Der Imaginärteil wurde weggelassen.

Answer 1

weil die Funktion e^{-t^2/....}*sin(2πft)

Punkt symmetrisch zum Ursprung ist und das Integral über diesen Summanden daher 0 ergibt (weil es auch konvergiert)

Answer 2

Von der Eulersche Gleichung haben wir dass $$e^{j\phi }=\cos (\phi ) +j\sin (\phi )$$

Wir bekommen also folgendes: $$e^{j2\pi ft }=\cos (2\pi ft ) +j\sin (2\pi ft  )$$

Die Sinusfunktion an der Stelle ganzzahligen Vielfachen von π ist immer gleich Null.

Wir haben also dass $$e^{j2\pi ft }=\cos (2\pi ft ) +j\cdot 0=\cos (2\pi ft ) $$

Comments

Ist \(2ft\) immer ganzzahlig?