Komplexe Identität mit Cosinus zeigen

Question

ich soll zeigen, dass der Ausdruck  $$\frac{1-r^2}{1-2rcos(x-X) +r^2} \qquad r,x,X \in \mathbb R$$ in komplexe Darstellung

$$\frac{1-|z|^2}{|1-ze^{-ix}|^2} $$ überführt werden kann.

Ich wähle $$z=re^{iy}$$ wobei ich noch nicht sicher bin wie ich y wählen soll. Damit erhält man den gewünschten Zähler. Beim Nenner komme ich nicht ganz weiter

$$1-2rcos(x-X) +r^2 = 1- 2ze^{iy} \cdot \left( \frac{e^{i(x-X)} + e^{i(X-x)}}{2}\right) + z^2e^{-2iy} $$

Ich sehe nicht, warum dass gleich $$|1-ze^{-ix}|^2$$ sein soll.

Grüsse

Answer 1

Setze \(z=|z|e^{ix}\). \(X\in\mathbb{R}\) ist beliebig. Dann haben wir $$\begin{aligned}\left|1-ze^{-iX}\right|^2&=\left(1-ze^{-iX}\right)\left(1-\overline{ze^{-iX}}\right)\\&=1-2\operatorname{Re}ze^{-iX}+|z|^2\\&=1-2|z|\cos(x-X)+|z|^2.\end{aligned}$$