Eulersche Identität Herleitung

Question

luE

Eulersche Identität:
e^phi*i = cos(phi) + i*sin(phi)

e^phi*i, ist in der komplexen Zahlenebene ein Punkt mit Abstand 1 zum Ursprung und Winkel phi. Die Herleitung erfolgt, indem man einen Punkt mit Winkel phi/n betrachtet, bei dem der Realteil approximativ 1 entspricht, die komplexe Zahl lautet 1+phi/n. Um auf einen Winkel phi zu kommen muss n*phi/n gerechnet werden. Doch um auf e^phi*i zu kommen muss der Grenzwert von (1+phi/n)^n gebildet werden.

Kann mir jemand den Sachverhalt erklären, vielen Dank.

Comments

Die Herleitung erfolgt, indem man einen Punkt mit Winkel phi/n betrachtet,

Wer sagt das?

Addiere die Reihenentwicklung von cos(φ) mit dem i-fachen der Reihenentwicklung von sin(φ) und vergleiche das Ergebnis mit der Reihenentwicklung von \(e^{i\cdot \phi}\).

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Der Autor verwendet, dass für eine komplexe Zahl z die Beziehung arg(z^n) = n*arg(z) gilt
sowie den Grenzwert lim_n→∞ (1+ x/n)^n = e^x
Nun betrachtet er eine Folge z_n von Zahlen auf dem Einheitskreis mit dem Argument arg(z_n) = φ/n.
Es ist dann z_n = cos(φ/n) + i*sin(φ/n) und damit wird z = (z_n)^n = cos(φ) + i*sin(φ) zu
(z_n)^n = (cos(φ/n) + i*sin(φ/n))^n so weit - so gut.
Jetzt betrachtet er den Grenzwert für n→∞ und berechnet ihn, indem er in der Klammer die trigonometrischen Funktionen durch die jeweils ersten Glieder ihrer Taylor-Reihen annähert :
lim_n→∞ (cos(φ/n) + i*sin(φ/n))^n = lim_n→∞ (1+ i*φ/n)^n = e^iφ

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Zur Erläuterung : Die Gleichung, die ich in der ersten Zeile angeschrieben habe, gilt ganz allgemein.

Sie wird hier speziell für die Zahl z_n mit dem Argument arg(z_n) = φ/n verwendet :

 

Answer 1

Hallo.

Die Herleitung der Eulerschen Formel

exp(ix) = cos(x) + i sin(x) für alle x ∈ C, kommt eigentlich von der Darstellung der Funktionen sin, cos : |R —> [-1,1] und exp : |R —> (0,inf) in der Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt 0.

Schreibe also erstmal exp(ix) = Σ (ix)^n / n! .

Nun machst du daraus zwei Reihen, indem du den Term i^n ∈ {-1,1,-i, i} klassifizierst. Die beiden daraus resultierenden Reihen sind dann einmal der Cosinus und Sinus, wobei eben der Sinus im Produkt mit der imaginären Einheit i ∈ C steht.

Comments

Die Frage war:

Kann mir jemand den Sachverhalt erklären

Dass deine Antwort dazu natürlich nicht passt, muss nicht weiter erläutert werden. Der Kommentar von hj oben ist da zielführender.

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Es handelte sich doch nur um eine etwas ausführlichere Darstellung der bereits vorher von abakus präsentierten Ausführungen, dem dein Kommentar also hätte gelten sollen.

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Nein, dass ich mich auf deinen Kommentar beziehe, ist schon richtig, denn der FS fragt nach diesem konkreten (!) Sachverhalt und nicht nach einer Herleitung mittels Reihenentwicklung. Insofern verfehlt sowohl diese Antwort als auch der Kommentar von abakus das eigentliche Thema.