Eulersche Identität exp(ix)=cos(x)+i sin (x) beweisen

Question

Bitte helft mir um diese Aufgabe zu lösen:

Beweisen Sie mit Hilfe der entsprechenden Potenzreihen die Eulersche Identität

                                exp(ix)=cos(x)+i sin (x) für alle x ∈ ℝ

 

Answer 1

Taylorreihe für e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + z^4/4! + ...

Taylorreihe für sin z = z - z^3/3! + z^5/5! - ...

Taylorreihe für cos z = 1 - z^2/2! + z^4/4! - z^6/6! + ...

Die sollten bekannt sein.

 

Wenn man jetzt bei e^z für z = it, also eine rein imaginäre Zahl einsetzt und die Taylorreihe entwickelt, ergibt sich

e^it = 1 + it + (it)^2/2! + (it)^3/3! + (it)^4/4! + ...

In den Zählern kommen also aufsteigend Potenzen von i vor, wobei

i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i ... ist

Daher e^it = 1 + it - t^2/2! - i(t^3/3!) + t^4/4! + i(t^5/5!) - ...

Man kann jetzt alle Terme mit i ausklammern:

e^it = (1 - t^2/2! + t^4/4! - t^6/6! + ...) +  i(t - t^3/3! + t^5/5! - ...)

 

Da sieht man, dass (1 - t^2/2! + t^4/4! - t^6/6! + ...) die Taylorreihe für cos t ist und (t - t^3/3! + t^5/5! - ...) die für sin t.

Also e^it = cos t + i * sin t