Eulersche Identität Herleitung

Question

luE

Eulersche Identität:
e^phi*i = cos(phi) + i*sin(phi)

e^phi*i, ist in der komplexen Zahlenebene ein Punkt mit Abstand 1 zum Ursprung und Winkel phi. Die Herleitung erfolgt, indem man einen Punkt mit Winkel phi/n betrachtet, bei dem der Realteil approximativ 1 entspricht, die komplexe Zahl lautet 1+phi/n. Um auf einen Winkel phi zu kommen muss n*phi/n gerechnet werden. Doch um auf e^phi*i zu kommen muss der Grenzwert von (1+phi/n)^n gebildet werden.

Kann mir jemand den Sachverhalt erklären, vielen Dank.

Comments

Die Herleitung erfolgt, indem man einen Punkt mit Winkel phi/n betrachtet,

Wer sagt das?

Addiere die Reihenentwicklung von cos(φ) mit dem i-fachen der Reihenentwicklung von sin(φ) und vergleiche das Ergebnis mit der Reihenentwicklung von \(e^{i\cdot \phi}\).

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Der Autor verwendet, dass für eine komplexe Zahl z die Beziehung arg(z^n) = n*arg(z) gilt
sowie den Grenzwert lim_n→∞ (1+ x/n)^n = e^x
Nun betrachtet er eine Folge z_n von Zahlen auf dem Einheitskreis mit dem Argument arg(z_n) = φ/n.
Es ist dann z_n = cos(φ/n) + i*sin(φ/n) und damit wird z = (z_n)^n = cos(φ) + i*sin(φ) zu
(z_n)^n = (cos(φ/n) + i*sin(φ/n))^n so weit - so gut.
Jetzt betrachtet er den Grenzwert für n→∞ und berechnet ihn, indem er in der Klammer die trigonometrischen Funktionen durch die jeweils ersten Glieder ihrer Taylor-Reihen annähert :
lim_n→∞ (cos(φ/n) + i*sin(φ/n))^n = lim_n→∞ (1+ i*φ/n)^n = e^iφ

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Zur Erläuterung : Die Gleichung, die ich in der ersten Zeile angeschrieben habe, gilt ganz allgemein.

Sie wird hier speziell für die Zahl z_n mit dem Argument arg(z_n) = φ/n verwendet :

 

Answer 1

Hallo.

Die Herleitung der Eulerschen Formel

exp(ix) = cos(x) + i sin(x) für alle x ∈ C, kommt eigentlich von der Darstellung der Funktionen sin, cos : |R —> [-1,1] und exp : |R —> (0,inf) in der Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt 0.

Schreibe also erstmal exp(ix) = Σ (ix)^n / n! .

Nun machst du daraus zwei Reihen, indem du den Term i^n ∈ {-1,1,-i, i} klassifizierst. Die beiden daraus resultierenden Reihen sind dann einmal der Cosinus und Sinus, wobei eben der Sinus im Produkt mit der imaginären Einheit i ∈ C steht.

Comments

Die Frage war:

Kann mir jemand den Sachverhalt erklären

Dass deine Antwort dazu natürlich nicht passt, muss nicht weiter erläutert werden. Der Kommentar von hj oben ist da zielführender.

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Es handelte sich doch nur um eine etwas ausführlichere Darstellung der bereits vorher von abakus präsentierten Ausführungen, dem dein Kommentar also hätte gelten sollen.