p ist stetig an einer Stelle x ∈ R und es ist p(x) > 0. P soll eingeschränkt auf U, positiv ist.

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe gegeben.

p ist stetig an einer Stelle x ∈ R und es ist p(x) > 0. Dann gibt es eine offene
Umgebung U von x, so dass p, eingeschränkt auf U, positiv ist.

Als Lösungsvorschlag haben wir nun folgendes gegeben.

Sei p stetig bei x ∈ R und p(x) > 0.
Daraus folgt, dass
1/2p(x) > 0 ist und ein δ> 0 existiert, so dass :
∀y ∈ U_x := {y ∈ R : |y − x| <δ } : |p(y) − p(x)| < 1/2 p(x)
=⇒ ∀y ∈ U_x: p(y) > 1/2 p(x) >0
Also ist die Aussage wahr.

Dies kann ich auch weitestgehend nachvollziehen, außer dass |p(y) − p(x)| < 1/2 p(x). Warum schreibe ich hier nicht wie immer bei der Stetigkeit |p(y) − p(x)| < ε?

Und wie kommt man auf das was daraus folgt? (⇒ ∀y ∈ U_x: p(y) > 1/2 p(x) >0)

Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar

Answer 1

Def. der Stetigkeit an der Stelle x:

Zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0 mit :
Für alle y ∈ U_δ(x) gilt p(y) ∈ U_ε(p(x))

oder vielleicht hattet ihr es in der Form

Zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0 mit : 
Für alle y gilt |y-x| < δ   ==>  | p(y)- p(x)| < ε.

Diese Definition gilt ja, da p als stetig bei x
vorausgesetzt war. Und wegen p(x) > 0 ist
auch   p(x)/2  > 0 und kann also als möglicher
Wert für ε gewählt werden.

Das ist hier geschehen und wenn du nun   p(x)/2

für ε einsetzt, erhältst du genau die Aussage, die

dort stand.

Und hast also  | p(y)- p(x)| < p(x)/2

Für alle |y-x|< δ gilt also

-p(x)/2 < p(y)- p(x) <  p(x)/2

Dann alles +p(x) gibt :

   p(x)/2 < p(y) < 3p(x)/2

Und wegen p(x)/2 > 0 sind also alle

p(y) auch größer 0.