Aufgabe:
Lösen Sie näherungsweise die Anfangswertaufgabe
\( y^{\prime}=-\frac{x}{y}, \quad y(0)=2 \)
im Intervall \( [0,1 / 2] \) mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta-Verfahrens 4. Ordnung.
1. Berechnen Sie einen Grobwert mit der Schrittweite \( h=1 / 2 \) und einen Wert mit der Schrittweite \( h=1 / 4 \). Benutzen Sie die beiden Werte, um eine Fehlerabschätzung an \( x=1 / 2 \) durchzuführen.
2. Berechnen Sie die exakte Lösung, und vergleichen Sie den exakten mit dem Näherungswert und den geschätzten mit dem realen Fehler.
Lösungen:
1. Mit \( h=1 / 2 \) ist \( y(1 / 2) \approx 1,936486252 \ldots \)
Mit \( h=1 / 4 \) ist \( y(1 / 2) \approx 1,936491315 \ldots \)
Abgeschätzter Fehler ungefähr: \( 3,38 \cdot 10^{-7} \).
2. Exakte Lösung: \( y(x)=\sqrt{4-x^{2}} \).
Exakter Wert an \( x=1 / 2 \) ist: \( y(1 / 2) \approx 1,936491673 \).
Realer Fehler: \( 3,58 \cdot 10^{-7} \).
