Fläche unter der x-Achse positiv?

Question

Berechne ich die Fläche zwischen den Funktionen x und x³ nur unterhalb der x-Achse, also zwischen minus 1 und 0, mit dem Integral ∫(x³ minus x), so bekomme ich 1/4, also einen positiven Wert. Müsste ich nicht einen negativen Wert bekommen, weil die errechnete Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Oder habe ich falsch gerechnet?

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Berechne ich die Fläche zwischen den
Funktionen x und x³ nur unterhalb der x-Achse,
also zwischen minus 1 und 0,

Die Fragestellung verstehe ich nicht ganz.
Willst du die Fläche

∫ x^3 - x dx  zwischen -1 und 0

bestimmen ?

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Genau. Weil diese Fläche ganz unterhalb der x-Achse liegt, müsste sie doch negativ sein, oder?

Answer 1

Skizziere mal die Funktion "y = x^3 - x" und markiere dort die Fläche, die zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall von -1 bis 0 liegt. Dann weißt du was du ausrechnest und wo diese Fläche liegt.

Diese Fläche ist allerdings genau so groß wie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen "y = x^3" und "y = x" im Intervall von -1 bis 0.

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Die orangene Kurve ist die Differenz Funktion.

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Es wäre natürlich schön, auch wenn jetzt die von mir gestellte Arbeitsanweisung gelöst ist, wenn der Fragesteller sich trotzdem nochmals selber daran setzt.

Denn Mathematik ist ein wenig wie Autofahren. Autofahren lernt man nicht indem man als Beifahrer mitfährt. Man lernt es erst, wenn man sich selber hinters Steuer setzt und versucht zu fahren.

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Tut mir leid dass ich dein didaktisches Konzept zerstört habe. Aber damit muss man auf dieser Seite leben.

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Das beantwortet meine Frage nicht. Ich habe ja die Fläche ausgerechnet, sie ist 1/4. Auch habe ich in meiner Frage schon angegeben, mir sei klar, dass sie völlig unter der x-Achse liegt, wenn ich als Grenzen des bestimmten Integrals  -1 und 0 nehme. Ich hatte allerdings erwartet, dass das Ergebnis MINUS 1/4 sein müsste, eben weil die Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Noch einmal  also meine Frage: Warum ist das Ergebnis positiv, oder habe ich falsch gerechnet?

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Du berechnest mit dem integral (x^3-x) NICHT die fläche unter der x-achse! Du berechnest die fläche zwischen der orangenen Kurve und der x-achse, die oberhalb der x-achse liegt. Diese ist vom betrag her genauso groß wie die fläche unter der x-achse.

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Wenn ich das Integral begrenze auf die x--Werte zwischen -1 und 0 so bekomme ich die Fläche unter der x-Achsel--was ja auch aus der Graphik hervorgeht. Nach wie vor verstehe ich nicht, warum diese Fläche unter der x-Achse positiv ist--es sei denn, ich habe falsch gerechnet.

Dass die Fläche zwischen den beiden Funktionen oberhalb der x-Achse, also zwischen 0 und 1 gleich groß ist, ist mir klar. Doch was tut das hier zur Sache?

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Du berechnest mit dem Integral die Fläche die zwischen "y = x^3 - x" und der x-Achse im Intervall von -1 bis 0 liegt und diese Fläche ist positiv.

Daher solltest du "y = x^3 - x" auch mal zeichnen damit du es verstehst.

Berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen f(x) und g(x) und bildet dabei f(x) - g(x) ergibt sich eine positive Fläche wenn f(x) oberhalb von g(x) liegt und eine negative Fläche wenn f(x) unterhalb von g(x) liegt.

Über Schnittpunkte der Graphen darf von nicht einfach hinweg integrieren bei der Flächenberechnung.

Answer 2

Zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Funktionen berechnest du zunächst die Schnittstellen
x = -1
x = 0
x = 1

das heißt : in dem von dir vorgegebenen
Intervall gibt es keine weitere Schnittstelle.

Nun bildest du die Differenzfunktion zwischen
y1 = x^3
y2 := x
Differenz an einer Stelle x
y1 - y2 = x^3 - x

d ( x )  = x^3 - x
Du kannst die Differenz auch bilden mit
d ( x ) = x - x^3
Es ist egal was man nimmt.
Sollte das Ergebnis negativ sein nimmt man
einfach den Betrag.
Dann stimmen beide Ergebnisse überein.

Nun die Stammfunktion bilden
D ( x ) = x^4 / 4 - x^2 / 2

Im Intervall -1 bis 0 ist die Fläche
[ D ( x ) ] _-1 ⁰
(-1)^4 / 4 - (-1)^2 / 2 - ( 0^4 / 4 - 0^2 / 2)
- 1/ 4
Wiederholung von oben
Sollte das Ergebnis negativ sein nimmt man
einfach den Betrag.
Dann stimmen beide Ergebnisse überein.
A = | - 1/4 | = 1/4

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Wenn ich das Integral begrenze auf die x--Werte zwischen -1 und 0 so bekomme ich die Fläche unter der x-Achsel--was ja auch aus der Graphik hervorgeht. Nach wie vor verstehe ich nicht, warum diese Fläche unter der x-Achse positiv ist--es sei denn, ich habe falsch gerechnet. 

Dass die Fläche zwischen den beiden Funktionen oberhalb der x-Achse, also zwischen 0 und 1 gleich groß ist, ist mir klar. Doch was tut das hier zur Sache?

ich weiß nicht ob du mir diesen Kommentar
schreiben wolltest.
Merken : Flächen sind immer positiv.
Ich habe noch keine negative Fläche
irgendwo gesehen.

Stell dir die sin-Funktion vor
Von 0..π ist die Fläche oberhalb
der x-Achse.
Von π..2π  ist die Fläche unterhalb
der x-Achse..

Beide Flächen sind positiv und gleich groß.

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Danke für die ausführliche Anweisung, aber diese Rechnung hatte ich schon durchgeführt und bin zu den gleichen Ergebnissen gekommen. Dann aber hat es mich gereizt zu sehen, was passiert, wenn ich das bestimmte Integral auf minus 1 bis 0 begrenze. Warum war meine Erwartung falsch, nun einen negativen Wert zu bekommen? "Sollte das Ergebnis negativ sein, nimmt man einfach den Betrag", schreibst Du. Ich habe aber den Betrag gar nicht verwendet und trotzdem einen positiven Wert für die Fläche unter der x-Achse bekommen. Warum?

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Wenn du als Differenzfunktion verwendest
d ( x )  = x³ - x
bekommst du zunächst einen negativen Wert.

Wenn du als Differenzfunktion verwendest
d ( x ) = x - x³
bekommst du zunächst einen positiven Wert.

Da Flächen immer positiv sind mußt du das erste
Ergebnis absolut setzen.

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Schau dir die Flächen an.
Obwohl eine Fläche oberhalb und eine
Fläche unterhalb der x-Achse ist
haben beide Flächen denselben
positiven Wert

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Wenn du als Differenzfunktion verwendest
d ( x )  = x³ - x
bekommst du zunächst einen negativen Wert.

Wenn du als Differenzfunktion verwendest
d ( x ) = x - x³
bekommst du zunächst einen positiven Wert.

das stimmt im beobachteten Intervall aber nicht ;).

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@ Fragesteller
Um die Sache auf die die Spitze zu treiben

Welchen Flächeninhalt hat die Fläche
Null oder 4 ?

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Hallo gr5959,

 Das bestimmte Integral von 0 bis 2pi von sin(x) ergibt 0. Das erweist sich als Unsinn, ...

Leider nicht. Das Integral ist
∫ sin ( x ) dx zwischen 0 und 2 * π = 0.

Flächenberechnung
Schnittstellen der Funktion sin ( x ) mit der x-Achse
0 ,  π,  2 * π

1.Fläche
| ∫ sin ( x ) dx zwischen 0 und π | = 2
2.Fläche
| ∫ sin ( x ) dx zwischen π und 2 * π | = 2
dasselbe wie 1.Fläche

Insgesamt
4

Warum bei der Integralberechnung null
herauskommt kann ich dir leider auch
nicht sagen. Vielleicht erkundigst du dich
bei deinem Lehrer oder schaust in einem
Buch nach und stellst die Begründung
hier ein.
Würde mich freuen.
mfg Georg

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Beides ist eine Integralrechnung?! Begründung anhand eines Bsps siehe bei mir.

Und ein Zitat aus einem anderen Antwortstrang zu ziehen ist eher verwirrend. Setzte doch Deine Antwort nächstes Mal dort darunter.

Answer 3

Hi gr5959,

Du berechnest hier nicht die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse, sondern zwischen zwei Graphen. Stell Dir deshalb vor, dass einer der Graphen den Platz der x-Achse einnimmt. Nun ist es so, dass wenn Du h(x) = g(x) - f(x) = x^3-x im Intervall von -1 bis 0 berechnest, dass die x-Achse die Funktion g(x) = x sei. Im gewählten Bereich liegt die Funktion f(x) über der "x-Achse" und der Flächeninhalt ist demnach positiv. Du könntest genauso gut die Funktionen umdrehen: h'(x) = f(x) - g(x) = x - x^3, wobei Du nun g(x) als x-Achse betrachten kannst. Da f(x) unterhalb der "x-Achse" liegt, wirst Du errechnen, dass der Flächeninhalt negativ orientiert ist ;).

Generell arbeitet man ohnehin mit dem Betrag - es geht ja um Flächen, die stets positiv sind - und die Orientierung ist egal.

Hoffe ich konnte Deine Frage beantworten,

Grüße

Comments

Wie koffi schon veranschaulicht hat, kann man die Differenzfunktion h(x) auch extra zeichnen (siehe seinen orangenen Balken). Dann kannst Du Dich wie gewohnt an der x-Achse orientieren. Und siehst, dass zwischen -1 und 0 die Fläche positiv orientiert ist.

Kannst ja zur Probe h'(x) zeichnen. Im gegebenen Intervall sollte die Fläche negativ orientiert sein :).

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Danke an alle, jetzt ist mir völlig klar, warum meine Rede von der "negativen Fläche" falsch war!

Vielleicht sollte ich noch erklären, wie ich zu dieser Rede gekommen bin. Das bestimmte Integral von 0 bis 2pi von sin(x) ergibt 0. Das erweist sich als Unsinn, sobald man den Graphen ansieht. Offensichtlich wird beim Integrieren die Fläche über der x-Achse zu der gleich großen Fläche unterhalb der x-Achse quasi addiert, so dass sie sich gegenseitig aufheben. Da plus und minus addiert null ergibt, habe ich die Fläche unter der x-Achse negativ genannt. Ich setze dieses "negativ" nun in Anführungszeichen, weil es ja es eigentlich keine negativen Flächen geben kann, wie Ihr mich überzeugt habt.

Natürlich ist die richtige Lösung Integral von 0 bis 2pi Betrag sin (x): Die "negative" Fläche unter der x-Achse wird durch den Betrags-Befehl nach oben geklappt und die Addition der beiden Flächen von 0 bis pi und von pi bis 2pi oberhalb der x-Achse ergibt die sinnvolle Lösung 4. 

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Man spricht von "negativ orientierter" Fläche. Der Begriff "negativ" ist also nicht ganz so falsch. Im Bezug auf Flächen alleine, natürlich eher nicht zu gebrauchen. Deshalb wird beim Berechnen der Fläche über ein Integral stets der Betrag genutzt.

Achte auch darauf, dass Du beim Integrieren von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zu betrachten hast, kannst also in Deinem Bsp nicht einfach von 0 bis 2pi integrieren, sondern musst das aufdröseln in zwei Integrale. Beide absoluten Ergebnisse integrieren und Du bist dort wo Du hinwillst ;).

Das aber nur bei Flächen. Will man bsp den Gewinn einer Firma errechnen, dann hätte diese bspw im ersten Halbjahr ein Gewinnplus verbucht und im zweiten Halbjahr Miese gemacht. Im gesamten Jahr betrachtet, wäre das eine Nullnummer, also beide Flächen samt ihrer Orientierung addiert ;).

Alles klar?