Integral: Was einsetzen bei z.B. Fläche begrenzt von den Graphen von f und g und der x -Achse?

Question

Hi,

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habe folgende Aufgabe:

Berechnen Sie den beschriebenen Flächeninhalt in Fig. 1

a) Begrenzt von den Graphen von f und g.

b) Begrenzt von den Graphen von f und g und der x -Achse.

c) Begrenzt vom Graphen von f, y-Achse und der Gerade y=4

f(x)=-x²+4x

g(x)= -x³+3x²

Frage: bei der a) habe ich 3 Nullstellen raus. 0, 2 und nochmal 2(?). habe dann ein Integral gebildet mit Untergrenze 0 und Obergrenze 2 und im Integral f-g geschrieben. Habe 6,6667 raus ist das richtig?

bei der b) weiß ich nicht wie ich das vorgehen soll..

und bei der c) finde ich ebenfalls keinen Ansatz.

wäre dankbar für ein Vorrechnen danke und LG

Comments

bei der b muss man doch einfach das Integral von g(x) ausrechnen oder?

Answer 1

Hier der Graph

a.) Integral f - g  zwischen 0 und 2

b.) Integral f - g zwischen 2 und 3

und

integral f zwiwschen 3 und 4

( f hat einen Nullpunkt bei 4, noch weiter nach rechts )

c.)

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Comments

die a habe ich denke ich richtig, denn so habe ich es auch gerechnet, danke. (habe dennoch 3 Nullstellen raus mit der pq Formel habe ich zwei mal +2 raus, ist das richtig? Ergebnis wie gesagt 10,6667.)
bei der b) verstehe ich nicht, wieso du auf die Nullstellen kommst. wenn man f und g gleichsetzt kommen doch die selben nullstellen wie in a) heraus.
bei der c) verstehe ich nicht, wie man das Integral nun berechnet...
Danke trotzdem erstmal.

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wo ist der Unterschied zwischen a und b?

Immerhin wird bei a) ja eh beide Graphen von x achse begrenzt..

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a.)
blaue Kurve minus rote kurve zwischen 0 und 2

∫ -x²+4x - ( -x³+3x² ) dx
∫ -x^2 + 4x + x^3 - 3x^2 dx
∫ 4x + x^3 - 4x^2 dx
4 x^2 / 2 + x^4 / 4 - 4 x^3 / 3
[ 2 * x^2 + x^4 / 4 - 4/3 * x^3 ] ₀ ²
2 * 2^2 + 2^4 / 4 - 4/3 * 2^3
8 + 4 - 32 / 3
4 / 3

b.)
blaue Kurve minus rote Kurve zwischen 2 und 3
11 / 12

Die blaue Kurve geht nach rechts noch weiter und schneidet
die x-Achse bei 4. Die ist die Nullstelle. Es ist die Fläche
zwischen der blauen Kurve ( f ) und der x-Achse zu ermitteln.
∫ f dx
∫ -x²+4x dx
- x^3/3 + 4x^2 / 2
[ - x^3/3 + 2x^2  ] 34
- 4^3/3 + 2*4^2 - ( - 3^3/3 + 2*3^2  )
5 / 3

11 / 12 + 5 / 3

c.)

∫ f dx dx
[ - x^3/3 + 2x^2  ] ₀²
 - 2^3/3 + 2*2^2 
16 / 3

Die gesamte Rechteckfläche zwischen
x = 0 bis 2  und y = 0  bis 4 beträgt
4 * 2 = 8

8 - 16 / 3 = 8 / 3

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Hier nochmals die Flächen.
Fläche b ist zweigeteilt.

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Hast du dich nicht verrechnet?

∫ -x²+4x - ( -x³+3x² ) dx 
∫ -x² + 4x + x³ - 3x² dx 
∫ 4x + x³ - 4x² dx 

aus + 3x^2 wird auf einmal -3x2..

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habe in meinem Buch die Lösungen dazu.

a) 1  1/3

b) 2,58

c) 2  2/3

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Deine Lösungen stimmen mit meinen Ergebnissen
doch überein !!!

- ( -x³+3x² )  | Klammer auflösen
+ x^3 - 3x^2

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Ja deswegen war ich ja verwirrt wieso meine Ergebnisse mit deinen Übereinstimmen.

- ( -x³+3x² )  | Klammer auflösen 
+ x³ - 3x²

Ich verstehe das - und - + ergibt vor dem Term...aber wieso wird 3x^2 auf einmal negativ man löst die Klammer doch bloß auf?

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Beispiel
- ( 5 -4 ) = - ( 1 ) = -1
- ( 5 - 4 ) = - 5 + 4 = -1

- mal - ergibt plus

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Ups, Denkfehler.

Kann dir leider keine "beste Antwort" mehr geben.

Lg

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Gern geschehen. Ich hoffe deine Mathekenntnisse haben sich gesteigert.