DGL mit Substitution lösen

Question

es geht lediglich um eine kleine Verständnis frage:

Es geht um folgende DGL:

\( x'(t)=\frac { t }{ 2x(t)}+ \frac {x(t)}{t} \)

Diese soll per Substitution gelöst werden.

Wir substituieren also: \( y=\frac{x(t)}{t} \)

Ab hier verstehe ich den Lösungsweg nicht so ganz:

\( y'(t)=\frac { x'(t) }{ t } -\frac { x(t) }{ t^2 }\)

$$  =\frac { 1 }{ t }(\frac { 1 }{ 2y(t) }+ y(t))-\frac { 1 }{ t }*y(t)=\frac { 1 }{ t }\frac { 1 }{ 2y(t)}$$Ich verstehe jetzt nicht wirklich wie man auf das y'(t)=... gekommen ist, und wieso man $$  =\frac { 1 }{ t }(\frac { 1 }{ 2y(t) }+ y(t))-\frac { 1 }{ t }*y(t)$$ rechnet. In meinem Skript ist leider nur ein Beispiel aufgeführt, aber daran konnte ich das leider nicht wirklich nachvollziehen. Wie man nach der Substitution vorgeht weiß ich, dank \(y'(t)=\frac { 1 }{ t }\frac { 1 }{ 2y(t)}\) hat man eine trennbare DGL.

Answer 1

Ich verstehe jetzt nicht wirklich wie man auf das y'(t)=... gekommen ist

hier wurde mittels Quotientenregel abgeleitet:

u=x(t)  ; v= t

u '(t) = x '(t) ; v '=1

------->

y'(t)= (x '(t)  *t  - x(t) *1 )/ t^2

y'(t)= x '(t) /t  - x(t)/t^2

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möglich ist auch folgender anderer Weg:

y= x(t)/t

x(t)= y*t

x '(t)= y +y 't (Produktregel)

eingesetzt in die DGL:

y +y 't =1/(2y) +y |-y

y 't =1/(2y)

führt dann auf die angegebene separierbare DGL.