Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Um die gegebene Aufgabe zu lösen, müssen wir verstehen, was es bedeutet, dass eine Funktion homogen vom Grad 3 ist. Eine Funktion \(F(x, y)\) ist homogen vom Grad \(n\), wenn für alle Skalare \(t > 0\) gilt:
\(
F(tx, ty) = t^n F(x, y)
\)
In unserem Fall ist \(n=3\), und wir haben die Funktion \(F(x, y) = x^{1-\beta}y^\alpha\). Wir setzen \(tx\) und \(ty\) in die Funktion ein, um die Bedingung für die Homogenität zu prüfen:
\(
F(tx, ty) = (tx)^{1-\beta}(ty)^\alpha = t^{1-\beta}x^{1-\beta}t^\alpha y^\alpha = t^{1-\beta+\alpha}x^{1-\beta}y^\alpha
\)
Damit \(F(tx, ty)\) homogen vom Grad 3 ist, muss gelten:
\(
1-\beta+\alpha = 3
\)
Dies ist die Bedingung, die die Werte von \(\alpha\) und \(\beta\) erfüllen müssen. Um die entsprechende Gleichung zu lösen, formen wir sie um:
\(
\alpha - \beta = 2
\)
Darstellung in der \(\alpha\beta\)-Euklidischen Ebene:
Die Menge der Punkte \((\alpha, \beta)\), die diese Bedingung erfüllen, bildet eine Gerade in der \(\alpha\beta\)-Ebene. Diese Gerade hat die allgemeine Form \(y = x + k\), wobei \(k\) eine Konstante ist. In unserem Fall ist die Gleichung \(\alpha = \beta + 2\), was bedeutet, dass die Gerade \(\beta\) als Funktion von \(\alpha\) (oder umgekehrt) dargestellt werden kann.
Explizit ausgedrückt, jeder Punkt auf der Geraden \(\alpha = \beta + 2\) erfüllt die Bedingung, dass die Funktion \(F(x, y) = x^{1-\beta}y^\alpha\) homogen vom Grad 3 ist. Visuell würde man eine diagonale Linie zeichnen, die durch den Punkt \((2, 0)\) geht (wenn \(\beta = 0\), dann \(\alpha = 2\)) und eine Steigung von 1 hat, weil für jeden Zuwachs von \(\beta\) um 1, \(\alpha\) um 1 zunimmt, um die Gleichung \(\alpha - \beta = 2\) zu erfüllen.
