Laplace-Transformation: Warum dieser Zähler beim Integral von e^{-st} dt?

Question

 warum kommt  in der vorletzten Zeile auf dem Bild für das Integral von e^{-st} dt noch der Nenner -s hinzu?

Answer 1

Hi,

Der Rechenweg der Laplace Transformation ist soweit in Ordnung, so hätte ich das auch gemacht.
Die Integralgrenzen Unendlich und 0 müssen eingesetzt werden. Wenn man das macht, hat man:

$$ { e }^{ -s*\infty  }-{ e }^{ 0 }=0-1 $$
natürlich den Ausgeklammerten Faktor davor gesetzt. Das Problem bei der Schreibweise mit dem Unendlich im Exponent ist, dass das so eigentlich nicht geht. Dieses s ist dabei einfach irgendein Parameter der eben mit -s betitelt ist. Dieses -s und Unendlich im Exponent der E-Funktion geht dann gegen 0. BSP: e^{-9999} = 0, e^{-99999999} = 0

Comments

Danke. Aber ich habe noch nicht cht verstanden, wo dieser Nenner. Eben auf einmal herkommt. Habe es auf neuem Bild mit Bleistift umkreist, was ich meine. Der Term VOR dem Umkreisten hat doch keinen Nenner. Oder habe ich gerade andere Regeln zum Integrieren dabei vergessen?

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Achso, dann habe ich das falsch verstanden :)

Ja das kann ich dir aber auch erklären: Wie wird denn eine E Funktion Integriert?

Dazu:

$$ \int { { e }^{ -ax }\quad dx } ,\quad u=-ax\longrightarrow dx=-\frac { 1 }{ a } du,-\frac { 1 }{ a } \int { { e }^{ u } } du $$

Du integrierst E-Funktionen immer nach einem gewissen Schema, dazu wird bei e^{-ax} dieses -ax substituiert. Wenn man das macht, hat man im Exponent e^u und natürlich den Abgeleiteten Faktor davor: 1/-a

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Ohje, stimmt. Dann sollte ich wohl erstmal diese Sachen auffrischen...Danke.

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Ach kein Problem, merk dir einfach diesen Allgemeinen Ansatz mit $$ \int { { e }^{ -ax }\quad dx }  $$ wenn du den kannst kannst du auch die anderen. :-)

Kleine Übung:

$$ \int { { e }^{ -2x }\quad dx }  $$

$$ \int { { e }^{ 3x }\quad dx } $$

$$ \int { { e }^{ 3ax }\quad dx } $$