Stammfunktion von dem Integral: (1/(z-1))dz

Question

Hallo Alle Zusammen,

ich verstehe die Lösung zu einer Aufgabe nicht. Ich Verstehe schon, dass der Log an der Stelle 0 nicht definiert ist, aber die Kurve C über die Integriert wird Null beinhaltet: Also müssen wir die Log Funktion verschieben. Ich kann aber die Lösung einfach nicht richtig interpretieren. Kann das jemand eventuell Geometrisch erklären, da ich bald eine Klausur habe und ich es drauf haben muss! 

Hier die Aufgabe (Es betrifft b)):

So und hier die Lösung:

Ich bin für jede Antwort sehr dankbar :)

Answer 1

Hi die Stammfunktion ist zu berechnen, indem man die Substitution nutzt:

Integration von a:

Die Substitution habe ich mal in die Mitte gepackt!

$$ \int { \frac { 1 }{ { (z-1) }^{ 2 } } ,\quad u\quad =\quad z-1\longrightarrow dz=du= } \int { \frac { 1 }{ u² }  }  $$

Dann wird normal nach Potenzregel integriert:

$$ \int { \frac { 1 }{ u² }  } =\frac { -1 }{ u } $$

Zurück substituieren mit u = z-1

$$ \frac { -1 }{ u } =\frac { -1 }{ z-1 } +C $$

Integrationskonstante C nicht vergessen!

Integration von b:

$$\int { \frac { 1 }{ z-1 } dz } ,\quad u=z-1\longrightarrow dz=du,=\int { \frac { 1 }{ u }  } du$$

$$\int { \frac { 1 }{ u }  } du\quad =\quad ln(u)$$

Rücksubstitution:

u = z-1

$$\int { \frac { 1 }{ u }  } du\quad =\quad ln(u)=ln(|z-1|)+C$$

Bitte berücksichtigen!

Den komplexen Wertebereich habe ich jetzt nicht der Aufgabenstellung entnommen...